Resolução de equação diferencial por Série de Potências:
Obter a solução de
por série de potências
Vamos resolver a equação diferencial:
com as condições iniciais
e
.
Passo 1: Supor uma solução em série de potências
Assumimos uma solução para
na forma de uma série de potências:
Encontrando as derivadas da série de potências, diferenciando termo a termo, obtemos:
Passo 2: Substituir na Equação Diferencial
Substituímos
e
na equação
:
Passo 3: Ajustar as séries
Reindexamos a primeira série para que ambas somas tenham potências de
. Na primeira série, substituímos
, de modo que
, então:
Assim, a equação diferencial se torna:
Passo 4: Igualar os coeficientes a zero:
Para que a soma seja zero para todo
, os coeficientes de cada
devem ser zero. Isso nos dá a relação de recorrência:
Passo 5: Determinar os coeficientes usando as condições iniciais:
Usando as condições iniciais
e
:
- Quando
. 2. Quando
.
Com
e
, podemos calcular os próximos termos usando a relação de recorrência:
Passo 6: Solução em série de potências:
Portanto, a solução em série de potências é:
A série obtida é a expansão em série de Taylor para
. Assim, a solução é:
Obter a solução de
Vamos resolver a equação diferencial:
Com
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
usando séries de potências. Isso significa que vamos assumir que a solução
pode ser representada como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. Para isso, precisamos conhecer conceitos de séries de potências e como diferenciar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar. Agora, vamos calcular as derivadas dessa série para substituir na equação diferencial.
Passo 3
Calculando a primeira e a segunda derivadas de
:
Essas expressões nos permitirão substituir na equação original.
Passo 4
Substituindo
e
na equação diferencial
:
Agora, vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham
.
Passo 5
Reindexando a primeira soma substituindo
(ou seja,
):
Agora podemos combinar as somas.
Passo 6
Combinando as somas, temos:
Para que essa equação seja verdadeira para todo
, cada coeficiente de
deve ser igual a zero.
Passo 7
Igualando os coeficientes a zero, obtemos a relação de recorrência:
Essa fórmula nos permite calcular os coeficientes
a partir de
.
Passo 8
Agora, vamos usar as condições iniciais para determinar os primeiros coeficientes. As condições são
e
.
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Usando a relação de recorrência e os valores iniciais, calculamos alguns coeficientes:
Observamos que os coeficientes com índice ímpar são zero.
Passo 10
Assim, a solução em série de potências fica:
Essa série é conhecida como a expansão de Taylor para
.
Resposta
A solução da equação diferencial
com as condições iniciais
e
é: