Resolução de equação diferencial por Série de Potências:
Obter a solução de y^prime prime(x)+y(x)=0 por série de potências
Vamos resolver a equação diferencial:
y^prime prime+y=0
com as condições iniciais y(0)=1 e y^prime(0)=0.

Passo 1: Supor uma solução em série de potências

Assumimos uma solução para y(x) na forma de uma série de potências:
y(x)=sumn=0^infty an x^n
Encontrando as derivadas da série de potências, diferenciando termo a termo, obtemos:
y^prime(x)=sumn=1^infty an n x^n-1, y^prime prime(x)=sumn=2^infty an n(n-1) x^n-2

Passo 2: Substituir na Equação Diferencial

Substituímos y(x) e y^prime prime(x) na equação y^prime prime+y=0 :
sumn=2^infty an n(n-1) x^n-2+sumn=0^infty an x^n=0

Passo 3: Ajustar as séries

Reindexamos a primeira série para que ambas somas tenham potências de x^n. Na primeira série, substituímos k=n-2, de modo que n=k+2, então:
sumn=2^infty an n(n-1) x^n-2=sumk=0^infty ak+2(k+2)(k+1) x^k
Assim, a equação diferencial se torna:
sumk=0^infty ak+2(k+2)(k+1) x^k+sumk=0^infty ak x^k=0

Passo 4: Igualar os coeficientes a zero:

Para que a soma seja zero para todo x, os coeficientes de cada x^k devem ser zero. Isso nos dá a relação de recorrência:
ak+2=-ak(k+2)(k+1)

Passo 5: Determinar os coeficientes usando as condições iniciais:

Usando as condições iniciais y(0)=1 e y^prime(0)=0 :
  1. Quando n=0: y(0)=a0=1. 2. Quando n=1: y^prime(0)=a1=0.
    Com a0=1 e a1=0, podemos calcular os próximos termos usando a relação de recorrência:
a2=-a02=-12 a3=0 a4=-a24 cdot 3=124 a5=0

Passo 6: Solução em série de potências:

Portanto, a solução em série de potências é:
y(x)=a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3+a4 x^4+cdots=1-x^22+x^424+ldots
A série obtida é a expansão em série de Taylor para cos (x). Assim, a solução é:
y(x)=cos (x)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial usando séries de potências. Isso significa que vamos assumir que a solução pode ser representada como uma soma infinita de termos envolvendo potências de . Para isso, precisamos conhecer conceitos de séries de potências e como diferenciar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y(x) = sumn=0^infty an x^n pode ser escrita como uma série de potências:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar. Agora, vamos calcular as derivadas dessa série para substituir na equação diferencial.

Passo 3

Calculando a primeira e a segunda derivadas de y'(x) = sumn=1^infty an n x^n-1 :
y''(x) = sumn=2^infty an n (n-1) x^n-2
Essas expressões nos permitirão substituir na equação original.

Passo 4

Substituindo sumn=2^infty an n (n-1) x^n-2 + sumn=0^infty an x^n = 0 e na equação diferencial :
Agora, vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham .

Passo 5

Reindexando a primeira soma substituindo sumk=0^infty ak+2 (k+2)(k+1) x^k + sumk=0^infty ak x^k = 0 (ou seja, ):
Agora podemos combinar as somas.

Passo 6

Combinando as somas, temos:
sumk=0^infty [ ak+2 (k+2)(k+1) + ak ] x^k = 0
Para que essa equação seja verdadeira para todo , cada coeficiente de deve ser igual a zero.

Passo 7

Igualando os coeficientes a zero, obtemos a relação de recorrência:
ak+2 = -ak(k+2)(k+1)
Essa fórmula nos permite calcular os coeficientes a partir de .

Passo 8

Agora, vamos usar as condições iniciais para determinar os primeiros coeficientes. As condições são y(0) = a0 = 1 e y'(0) = a1 = 0 .
  1. Para :
  1. Para :

Passo 9

Usando a relação de recorrência e os valores iniciais, calculamos alguns coeficientes:
a2 &= -a02 cdot 1 = -12 a3 &= -a13 cdot 2 = 0 a4 &= -a24 cdot 3 = 124 a5 &= -a35 cdot 4 = 0 &vdots
Observamos que os coeficientes com índice ímpar são zero.

Passo 10

Assim, a solução em série de potências fica:
y(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + a4 x^4 + cdots = 1 - x^22 + x^424 - cdots
Essa série é conhecida como a expansão de Taylor para .

Resposta

A solução da equação diferencial y(x) = cos(x) com as condições iniciais e é:

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