Use os métodos de integração para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de $ g(y)^{2} \cos^{5} y , dy $. Estamos trabalhando com métodos de integração, especificamente para funções que envolvem potências de cosseno e outras funções multiplicadas por elas. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas como substituição e talvez integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da integral que envolve $ \cos^{5} y $. Quando temos uma potência ímpar de cosseno, uma boa estratégia é separar um fator de cosseno e converter o restante em termos de seno usando a identidade trigonométrica $ \cos^{2} y = 1 - \sin^{2} y $. Isso ajuda a simplificar a integral.
Passo 3
Vamos reescrever $ \cos^{5} y $ como $ \cos^{4} y \cdot \cos y $. Agora, usamos a identidade $ \cos^{2} y = 1 - \sin^{2} y $ para substituir $ \cos^{4} y $:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
Isso transforma a integral em:
Passo 5
Aqui, a integral depende de $ g(y)^{2} $. Se $ g(y) $ for uma função específica de $ y $, precisaríamos conhecê-la para prosseguir. Como não temos essa informação, podemos deixar a resposta em termos de $ g(y) $:
Resposta
A integral $ \int g(y)^{2} \cos^{5} y , dy $ pode ser expressa como:
E, após a substituição $ u = \sin y $, fica:
Para resolver completamente, precisaríamos da expressão específica de $ g(y) $.