Use o mitodo da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotacilio, em torno do eixo
, das Areas limitadas pelas curvas e retas a seguir.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo
, a região do plano limitada pelas curvas/retas
Informações relevantes dadas:
Interseções importantes (obtidas igualando pares das equações dadas):
Portanto a região é um triângulo cujos vértices são
,
e
. Para um dado valor de
no intervalo
,
varia de
até
. O objetivo final é calcular o volume do sólido de revolução em torno do eixo
.
Passo 2
Explicação didática do método das cascas (para revolução em torno do eixo
):
- Ideia: cortamos a região por tiras horizontais de espessura
. Cada tira, ao girar em torno do eixo , gera uma casca cilíndrica. - Fórmula da casca elemental: o volume de uma casca de raio
, altura e espessura é aproximadamente
Explanação das variáveis:
-
é a distância da tira ao eixo de rotação. Como estamos medindo tiras horizontais em altura , a distância até o eixo é (sempre positiva). -
é o comprimento da tira no sentido , isto é . -
é a espessura da tira. Integrando sobre os que cobrem a região obtemos o volume total:
Observação sobre o valor absoluto em
: se o intervalo de
atravessa
convém dividir a integral em partes onde
tem sinal constante para tratar
sem ambiguidade.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso:
- Para cada
temos
Logo a altura da casca é
- O raio é
- Os limites em
são de até (ver interseções no Passo 1).
Assim o volume é
Passo 4
Tratar o módulo dividindo a integral em duas partes (em
muda o sinal de
):
Aqui usei
quando
e
quando
.
Passo 5
Calcular a primeira integral
Expanda o integrando:
Antiderivadas termo a termo:
Portanto uma primitiva é
Avalie de
até
:
Calcule os termos em
:
,
. Assim
Logo
Passo 6
Calcular a segunda integral
Expanda o integrando:
Antiderivadas:
Uma primitiva é
Avalie de
a
:
Passo 7
Some as duas partes:
Colocando
e
:
Finalmente multiplica-se por
: