Use o mitodo da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotacilio, em torno do eixo x, das Areas limitadas pelas curvas e retas a seguir.
x=\sqrt{5}, \quad x=-y, \quad y=2

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região do plano limitada pelas curvas/retas
x=\sqrt{5},\qquad x=-y,\qquad y=2.
Informações relevantes dadas:
x=\sqrt{5}\quad(\text{reta vertical}),\qquad x=-y\quad(\text{reta oblíqua}),\qquad y=2\quad(\text{reta horizontal}).í
Interseções importantes (obtidas igualando pares das equações dadas):
x=-y\\ \text{e}\\ y=2 \Rightarrow x=-2,\\ \text{ponto }(-2,2).
x=\sqrt{5}\\ \text{e}\\ y=2 \Rightarrow \text{ponto }(\sqrt{5},2).
x=\sqrt{5}\\ \text{e}\\ x=-y \Rightarrow y=-\sqrt{5},\\ \text{ponto }(\sqrt{5},-\sqrt{5}).
Portanto a região é um triângulo cujos vértices são (-2,2), (\sqrt{5},2) e (\sqrt{5},-\sqrt{5}). Para um dado valor de y no intervalo [-\sqrt{5},2], x varia de x_{\text{esq}}=-y até x_{\text{dir}}=\sqrt{5}. O objetivo final é calcular o volume do sólido de revolução em torno do eixo x.

Passo 2

Explicação didática do método das cascas (para revolução em torno do eixo x):
  • Ideia: cortamos a região por tiras horizontais de espessura \,dy. Cada tira, ao girar em torno do eixo x, gera uma casca cilíndrica.
  • Fórmula da casca elemental: o volume de uma casca de raio r, altura h e espessura dy é aproximadamente
dV \approx 2\pi \, r \, h \, dy.
Explanação das variáveis:
  • r é a distância da tira ao eixo de rotação. Como estamos medindo tiras horizontais em altura y, a distância até o eixo x é |y| (sempre positiva).
  • h é o comprimento da tira no sentido x, isto é x_{\text{dir}}-x_{\text{esq}}.
  • dy é a espessura da tira. Integrando dV sobre os y que cobrem a região obtemos o volume total:
V=\int_{y_{\min}}^{y_{\max}} 2\pi\, r(y)\, h(y)\, dy.
Observação sobre o valor absoluto em r=|y|: se o intervalo de y atravessa 0 convém dividir a integral em partes onde y tem sinal constante para tratar r sem ambiguidade.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso:
  • Para cada y\in[-\sqrt{5},2] temos
x_{\text{dir}}=\sqrt{5},\qquad x_{\text{esq}}=-y.
Logo a altura da casca é
h(y)=x_{\text{dir}}-x_{\text{esq}}=\sqrt{5}-(-y)=\sqrt{5}+y.
  • O raio é
r(y)=|y|.
  • Os limites em y são de y_{\min}=-\sqrt{5} até y_{\max}=2 (ver interseções no Passo 1).
Assim o volume é
V=\int_{-\sqrt{5}}^{2} 2\pi\,|y|(\sqrt{5}+y)\,dy.

Passo 4

Tratar o módulo dividindo a integral em duas partes (em y=0 muda o sinal de y):
V=2\pi\left(\int_{-\sqrt{5}}^{0} (-y)(\sqrt{5}+y)\,dy+\int_{0}^{2} y(\sqrt{5}+y)\,dy\right).
Aqui usei |y|=-y quando y<0 e |y|=y quando y\ge0.

Passo 5

Calcular a primeira integral
I_1=\int_{-\sqrt{5}}^{0} (-y)(\sqrt{5}+y)\,dy.
Expanda o integrando:
(-y)(\sqrt{5}+y)=-\sqrt{5}\,y - y^{2}.
Antiderivadas termo a termo:
\int -\sqrt{5}\,y\,dy = -\sqrt{5}\,\frac{y^{2}}{2},\qquad \int -y^{2}\,dy = -\frac{y^{3}}{3}.
Portanto uma primitiva é
F(y)=-\sqrt{5}\,\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}.
Avalie de y=-\sqrt{5} até y=0:
I_1=F(0)-F(-\sqrt{5})=0-\Big(-\sqrt{5}\frac{5}{2}-\frac{(-\sqrt{5})^{3}}{3}\Big).
Calcule os termos em y=-\sqrt{5}: y^{2}=5, y^{3}= -5\sqrt{5}. Assim
F(-\sqrt{5})=-\sqrt{5}\frac{5}{2}-\frac{-5\sqrt{5}}{3}=-\frac{5\sqrt{5}}{2}+\frac{5\sqrt{5}}{3}=-\frac{5\sqrt{5}}{6}.
Logo
I_1=0-(-\tfrac{5\sqrt{5}}{6})=\frac{5\sqrt{5}}{6}.

Passo 6

Calcular a segunda integral
I_2=\int_{0}^{2} y(\sqrt{5}+y)\,dy.
Expanda o integrando:
y(\sqrt{5}+y)=\sqrt{5}\,y + y^{2}.
Antiderivadas:
\int \sqrt{5}\,y\,dy = \sqrt{5}\,\frac{y^{2}}{2},\qquad \int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3}.
Uma primitiva é
G(y)=\sqrt{5}\,\frac{y^{2}}{2}+\frac{y^{3}}{3}.
Avalie de 0 a 2:
I_2=G(2)-G(0)=\sqrt{5}\frac{4}{2}+\frac{8}{3}=2\sqrt{5}+\frac{8}{3}.

Passo 7

Some as duas partes:
I_1+I_2=\frac{5\sqrt{5}}{6}+2\sqrt{5}+\frac{8}{3}.
Colocando 2\sqrt{5}=\dfrac{12\sqrt{5}}{6} e \dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{6}:
I_1+I_2=\frac{5\sqrt{5}+12\sqrt{5}+16}{6}=\frac{17\sqrt{5}+16}{6}.
Finalmente multiplica-se por 2\pi:
V=2\pi\cdot\frac{17\sqrt{5}+16}{6}=\frac{2\pi(17\sqrt{5}+16)}{6}=\frac{\pi(17\sqrt{5}+16)}{3}.

Resposta

\frac{\pi\bigl(17\sqrt{5}+16\bigr)}{3}

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