Obtenha as equações a) vetorial, b) simétricas e c) paramétricas da reta que passa nos pontos
e
. Obter as equações reduzidas da reta na variável y.
Passo 1
A questão pede as equações da reta que passa por A(3,−1,4) e B(4,−3,−1), mais a forma “reduzida” na variável y. O conteúdo é geometria analítica em
úmeroos 3D: vetor diretor, equação vetorial, paramétrica e simétrica, e por fim expressar x e z em função de y.
úmeroos 3D: vetor diretor, equação vetorial, paramétrica e simétrica, e por fim expressar x e z em função de y.
Passo 2
Para encontrar o vetor diretor usamos B–A. Como
então
Ou seja, a reta tem direção (1,−2,−5).
Passo 3
A equação vetorial da reta parte de um ponto fixo A e soma o parâmetro t vezes o vetor diretor. Assim,
Passo 4
Para a forma paramétrica basta escrever cada componente:
Passo 5
Na forma simétrica eliminamos t de cada equação paramétrica. Como x−3 = t, y+1 = −2t e z−4 = −5t, temos
Passo 6
Para obter as equações reduzidas na variável y isolamos t em y: de y = −1 − 2t segue t = −\tfrac{y+1}{2}. Substituindo em x e z:
Resposta
a) Vetorial:
b) Simétricas:
c) Paramétricas:
Equações reduzidas na variável y: