Obtenha as equações a) vetorial, b) simétricas e c) paramétricas da reta que passa nos pontos A(3,-1,4) e B(4,-3,-1). Obter as equações reduzidas da reta na variável y.

Passo 1

A questão pede as equações da reta que passa por A(3,−1,4) e B(4,−3,−1), mais a forma “reduzida” na variável y. O conteúdo é geometria analítica em
úmeroos 3D: vetor diretor, equação vetorial, paramétrica e simétrica, e por fim expressar x e z em função de y.

Passo 2

Para encontrar o vetor diretor usamos B–A. Como
A=(3,-1,4), B=(4,-3,-1),
então
v = AB = B - A = (4-3,,-3-(-1),,-1-4) = (1,-2,-5)
Ou seja, a reta tem direção (1,−2,−5).

Passo 3

A equação vetorial da reta parte de um ponto fixo A e soma o parâmetro t vezes o vetor diretor. Assim,
vec r(t) = (3,-1,4) + t,(1,-2,-5)

Passo 4

Para a forma paramétrica basta escrever cada componente:
x = 3 + t,
y = -1 - 2t,
z = 4 - 5t

Passo 5

Na forma simétrica eliminamos t de cada equação paramétrica. Como x−3 = t, y+1 = −2t e z−4 = −5t, temos
x-31 = y+1-2 = z-4-5

Passo 6

Para obter as equações reduzidas na variável y isolamos t em y: de y = −1 − 2t segue t = −\tfrac{y+1}{2}. Substituindo em x e z:
x = 3 + t = 3 - y+12 = 5-y2,
z = 4 - 5t = 4 + 5(y+1)2 = 13+5y2

Resposta

a) Vetorial:
vec r = (3,-1,4) + t,(1,-2,-5)
b) Simétricas:
x-31 = y+1-2 = z-4-5
c) Paramétricas:
x = 3 + t, y = -1 - 2t, z = 4 - 5t
Equações reduzidas na variável y:
x = 5 - y2, z = 13 + 5y2

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