Encontre os valores extremos das funções nos respectivos domínios.
(b)
e
(b)
Passo 1
Resumo do enunciado: Precisamos achar os valores extremos da função
no domínio fechado e limitado
. O conteúdo envolvido é cálculo de funções de duas variáveis, usando derivadas parciais para pontos críticos e análise das fronteiras.
Passo 2
Para encontrar pontos críticos no interior de
, calculamos as derivadas parciais:
e
. Igualando a zero, obtemos
e
, que pertence ao domínio. Pela teoria, pontos em que o gradiente se anula são candidatos a extremos internos.
Passo 3
Como o domínio é um quadrado, examinamos também as quatro arestas: 1)
:
,
tem mínimo em
e máximo em
. 2)
:
tem mínimo em
e máximo em
. 3)
:
tem mínimo em
e máximo em
. 4)
:
tem mínimo em
e máximo em
.
Passo 4
Avaliando
nos pontos candidatos: interior em
dá
; cantos e extremos de arestas dão
,
,
. Comparando esses valores, o menor é
e o maior é
.
Resposta
A função atinge o mínimo global em (0,0) com valor 0 e o máximo global em (1,1) com valor 3.