Encontre os valores extremos das funções nos respectivos domínios.
(b) f(x, y)=x^2+2 y^2, 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1

Passo 1

Resumo do enunciado: Precisamos achar os valores extremos da função f(x,y)=x^2+2y^2 no domínio fechado e limitado D=(x,y):0<= x<=1,,0<= y<=1. O conteúdo envolvido é cálculo de funções de duas variáveis, usando derivadas parciais para pontos críticos e análise das fronteiras.

Passo 2

Para encontrar pontos críticos no interior de D, calculamos as derivadas parciais: partial fpartial x=2x e partial fpartial y=4y. Igualando a zero, obtemos x=0 e y=0, que pertence ao domínio. Pela teoria, pontos em que o gradiente se anula são candidatos a extremos internos.

Passo 3

Como o domínio é um quadrado, examinamos também as quatro arestas: 1) x=0: f(0,y)=2y^2, yin[0,1] tem mínimo em y=0 e máximo em y=1. 2) x=1: f(1,y)=1+2y^2 tem mínimo em y=0 e máximo em y=1. 3) y=0: f(x,0)=x^2 tem mínimo em x=0 e máximo em x=1. 4) y=1: f(x,1)=x^2+2 tem mínimo em x=0 e máximo em x=1.

Passo 4

Avaliando f nos pontos candidatos: interior em (0,0) 0; cantos e extremos de arestas dão f(1,0)=1, f(0,1)=2, f(1,1)=3. Comparando esses valores, o menor é 0 e o maior é 3.

Resposta

A função atinge o mínimo global em (0,0) com valor 0 e o máximo global em (1,1) com valor 3.

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