1. Você jogou um dado de seis lados 60 vezes e obteve a seguinte contagem:
20 uns 20 dois 15 três
3 quatros 2 cincos 0 seis
Esse parece um resultado razoável? Que inferências podem ser feitas desse resultado?

Passo 1

O enunciado dá o resultado de 60 lançamentos de um dado de seis faces com as contagens por face:
  • face 1: 20
  • face 2: 20
  • face 3: 15
  • face 4: 3
  • face 5: 2
  • face 6: 0
O que nos pedem:
  1. Verificar se esse resultado “parece razoável” para um dado justo.
  2. Dizer que inferências podemos tirar a partir desses dados.
Informações relevantes já extraídas do enunciado:
  • Total de observações: n=60.
  • Observações por categoria (faces) listadas acima.
  • Nenhuma outra informação sobre como os lançamentos foram feitos (assume-se independência e mesma condição para cada lançamento).

Passo 2

Qual teste usar e por quê (sem resolver ainda).
  • Quando se tem contagens em categorias (aqui 6 faces) e se quer testar se elas vêm de uma distribuição teórica (aqui distribuição uniforme com probabilidade 1/6 por face), o teste apropriado é o teste de aderência qui-quadrado (goodness-of-fit de Pearson), que compara contagens observadas O_i com contagens esperadas E_i.
  • Hipóteses: H_0:\; p_1=p_2=\cdots=p_6=\frac{1}{6}\quad\text{(dado justo)}
H_1:\;\text{pelo menos uma }p_i\neq\frac{1}{6}\quad\text{(dado não justo)}ã
  • Condição prática para o teste: valores esperados razoavelmente grandes (regra prática: E_i\ge 5). Aqui teremos E_i=10 para cada face, então a condição está satisfeita.

Passo 3

Calcular os valores esperados E_i sob H_0.
  • Como n=60 e sob H_0 cada face tem probabilidade 1/6,
E_i = n\cdot\frac{1}{6} = \frac{60}{6} = 10\quad\text{para }i=1,\dots,6.

Passo 4

Apresentar a fórmula do estatístico qui-quadrado e explicar cada termo.
  • Fórmula:
\chi^2=\sum_{i=1}^{6}\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}.
  • Interpretação: cada termo \dfrac{(O_i-E_i)^2}{E_i} mede a discrepância quadrática normalizada da contagem observada em relação à esperada; somando obtém-se uma medida global da discrepância.
  • Sob H_0 e com amostra grande, \chi^2 se distribui aproximadamente como uma qui-quadrado com k-1 graus de liberdade, onde k é o número de categorias. Aqui k=6, logo df=5.

Passo 5

Calcular cada termo da soma explicitamente (contas passo a passo).
Usamos E_i=10. Para cada face i calcular (O_i-E_i)^2/E_i.
  • Face 1: O_1=20,
\frac{(20-10)^2}{10}=\frac{100}{10}=10.
  • Face 2: O_2=20,
\frac{(20-10)^2}{10}=\frac{100}{10}=10.
  • Face 3: O_3=15,
\frac{(15-10)^2}{10}=\frac{25}{10}=2{,}5.
  • Face 4: O_4=3,
\frac{(3-10)^2}{10}=\frac{49}{10}=4{,}9.
  • Face 5: O_5=2,
\frac{(2-10)^2}{10}=\frac{64}{10}=6{,}4.
  • Face 6: O_6=0,
\frac{(0-10)^2}{10}=\frac{100}{10}=10.

Passo 6

Somar os termos para obter o valor do estatístico \chi^2.
\chi^2 = 10 + 10 + 2{,}5 + 4{,}9 + 6{,}4 + 10 = 43{,}8.
Graus de liberdade: df = 6-1 = 5.

Passo 7

Interpretar \chi^2 comparando com valores críticos e com p‑valor (intuição e conclusão).
  • Valores críticos típicos para \chi^2 com df=5: \chi^2_{0{,}05,5}\approx 11{,}07,\qquad \chi^2_{0{,}01,5}\approx 15{,}09.
  • Nosso valor \chi^2=43{,}8 é muito maior que esses críticos, logo rejeitamos H_0 com folga mesmo para níveis de significância muito pequenos. Em termos de p‑valor, temos p\ll 0{,}001 (praticamente zero). Conclusão: os dados são incompatíveis com a hipótese de dado justo.

Passo 8

Examinar quais faces contribuem mais para a discrepância (resíduos padronizados).
  • Resíduo padronizado aproximado:
r_i=\frac{O_i-E_i}{\sqrt{E_i}}.
Com \sqrt{E_i}=\sqrt{10}\approx 3{,}1623:
  • Face 1: r_1=\dfrac{20-10}{\sqrt{10}}\approx 3{,}162.
  • Face 2: r_2\approx 3{,}162.
  • Face 3: r_3=\dfrac{15-10}{\sqrt{10}}\approx 1{,}581.
  • Face 4: r_4=\dfrac{3-10}{\sqrt{10}}\approx -2{,}214.
  • Face 5: r_5=\dfrac{2-10}{\sqrt{10}}\approx -2{,}530.
  • Face 6: r_6=\dfrac{0-10}{\sqrt{10}}\approx -3{,}162.
Interpretação prática: valores de |r_i|\gtrsim 2 indicam desvios importantes para aquela face. Aqui faces 1 e 2 têm excesso significativo; faces 4,5,6 têm falta significativa (especialmente face 6).

Passo 9

Estimativas pontuais das probabilidades e comentário.
  • Estimativas empíricas \hat p_i = O_i / 60: \hat p_1=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}\approx 0{,}333,\quad \hat p_2=\frac{20}{60}\approx 0{,}333,
\hat p_3=\frac{15}{60}=0{,}25,\quad \hat p_4=\frac{3}{60}=0{,}05,
\hat p_5=\frac{2}{60}\approx 0{,}033,\quad \hat p_6=\frac{0}{60}=0.
  • Comparando com 1/6\approx 0{,}1667: faces 1 e 2 aparecem muito mais do que o esperado; faces 4,5,6 muito menos.

Passo 10

Discussão prática, limitações e recomendações finais.
  • Inferência principal: os dados fornecem evidência muito forte contra a hipótese de que o dado seja justo; parece haver viés a favor de 1 e 2 e contra 4,5,6.
  • Limitações: o teste assume que os lançamentos são independentes e em condições idênticas; se houve procedimento errado (por exemplo, não embaralhar, usar um dado danificado) isso explica o viés.
  • Recomendações: inspecionar fisicamente o dado, repetir o experimento com mais lançamentos ou com outros dados, ou testar hipóteses específicas (por ex. se apenas a face 6 é anômala) com testes binomiais/exatos se desejar.

Resposta

Não, não parece razoável: o teste qui-quadrado dá \chi^2=43{,}8 com df=5, resultando em p\ll 0{,}001, portanto rejeita-se a hipótese de dado justo.
Inferências: as faces 1 e 2 aparecem em excesso ( \hat p_1=\hat p_2\approx 0{,}333), enquanto as faces 4,5,6 aparecem em falta ( \hat p_4=0{,}05,\\ \hat p_5\approx 0{,}033,\\ \hat p_6=0); ou seja, os dados indicam fortemente um dado viciado.

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