- Você jogou um dado de seis lados 60 vezes e obteve a seguinte contagem:
20 uns 20 dois 15 três
3 quatros 2 cincos 0 seis
Esse parece um resultado razoável? Que inferências podem ser feitas desse resultado?
3 quatros 2 cincos 0 seis
Passo 1
O enunciado dá o resultado de
lançamentos de um dado de seis faces com as contagens por face:
- face 1:
- face 2:
- face 3:
- face 4:
- face 5:
- face 6:
O que nos pedem:
- Verificar se esse resultado “parece razoável” para um dado justo.
- Dizer que inferências podemos tirar a partir desses dados.
Informações relevantes já extraídas do enunciado:
- Total de observações:
. - Observações por categoria (faces) listadas acima.
- Nenhuma outra informação sobre como os lançamentos foram feitos (assume-se independência e mesma condição para cada lançamento).
Passo 2
Qual teste usar e por quê (sem resolver ainda).
- Quando se tem contagens em categorias (aqui 6 faces) e se quer testar se elas vêm de uma distribuição teórica (aqui distribuição uniforme com probabilidade
por face), o teste apropriado é o teste de aderência qui-quadrado (goodness-of-fit de Pearson), que compara contagens observadas com contagens esperadas . - Hipóteses:
- Condição prática para o teste: valores esperados razoavelmente grandes (regra prática:
). Aqui teremos para cada face, então a condição está satisfeita.
Passo 3
Calcular os valores esperados
sob
.
- Como
e sob cada face tem probabilidade ,
Passo 4
Apresentar a fórmula do estatístico qui-quadrado e explicar cada termo.
- Fórmula:
- Interpretação: cada termo
mede a discrepância quadrática normalizada da contagem observada em relação à esperada; somando obtém-se uma medida global da discrepância. - Sob
e com amostra grande, se distribui aproximadamente como uma qui-quadrado com graus de liberdade, onde é o número de categorias. Aqui , logo .
Passo 5
Calcular cada termo da soma explicitamente (contas passo a passo).
Usamos . Para cada face
calcular
.
Usamos
- Face 1:
,
- Face 2:
,
- Face 3:
,
- Face 4:
,
- Face 5:
,
- Face 6:
,
Passo 6
Somar os termos para obter o valor do estatístico
.
Graus de liberdade:
.
Passo 7
Interpretar
comparando com valores críticos e com p‑valor (intuição e conclusão).
- Valores críticos típicos para
com : - Nosso valor
é muito maior que esses críticos, logo rejeitamos com folga mesmo para níveis de significância muito pequenos. Em termos de p‑valor, temos (praticamente zero). Conclusão: os dados são incompatíveis com a hipótese de dado justo.
Passo 8
Examinar quais faces contribuem mais para a discrepância (resíduos padronizados).
- Resíduo padronizado aproximado:
Com
:
- Face 1:
. - Face 2:
. - Face 3:
. - Face 4:
. - Face 5:
. - Face 6:
.
Interpretação prática: valores de
indicam desvios importantes para aquela face. Aqui faces
e
têm excesso significativo; faces
têm falta significativa (especialmente face
).
Passo 9
Estimativas pontuais das probabilidades e comentário.
- Estimativas empíricas
:
- Comparando com
: faces e aparecem muito mais do que o esperado; faces muito menos.
Passo 10
Discussão prática, limitações e recomendações finais.
- Inferência principal: os dados fornecem evidência muito forte contra a hipótese de que o dado seja justo; parece haver viés a favor de
e e contra . - Limitações: o teste assume que os lançamentos são independentes e em condições idênticas; se houve procedimento errado (por exemplo, não embaralhar, usar um dado danificado) isso explica o viés.
- Recomendações: inspecionar fisicamente o dado, repetir o experimento com mais lançamentos ou com outros dados, ou testar hipóteses específicas (por ex. se apenas a face 6 é anômala) com testes binomiais/exatos se desejar.
Resposta
Não, não parece razoável: o teste qui-quadrado dá
com
, resultando em
, portanto rejeita-se a hipótese de dado justo.
Inferências: as faces e
aparecem em excesso (
), enquanto as faces
aparecem em falta (
); ou seja, os dados indicam fortemente um dado viciado.
Inferências: as faces