Use a parte II do (T.F.C) para Calcular as integrais a seguir:
\int_{0}^{1}\left(\sqrt[7]{z^{3}}+2 e^{z}\right) d z

Passo 1

O enunciado dá a integral definida
\int_{0}^{1}\left(\sqrt[7]{z^{3}}+2 e^{z}\right)\,dz
Perguntas explícitas: calcular o valor numérico exato dessa integral. Informações relevantes que o enunciado fornece:
\sqrt[7]{z^{3}}=\;z^{3/7},
os limites de integração são 0 e 1, e a função a ser integrada é a soma de duas funções mais simples: z^{3/7} e 2e^{z}.

Passo 2

Estratégia e justificativa teórica (a “parte II do T.F.C.”): se uma função f é contínua em [a,b] e F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x) para todo x em [a,b]), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Isso é o que normalmente chamamos de Teorema Fundamental do Cálculo, Parte II. Aqui precisamos:
  1. verificar que a função integranda é contínua em [0,1]; 2) encontrar uma primitiva F; 3) calcular F(1)-F(0).
    Verificação de continuidade: z^{3/7} é contínua em [0,1] (para z\ge0 a potência racional com denominador ímpar fica bem definida) e e^{z} é contínua em todo \mathbb{R}; portanto a soma é contínua em [0,1]. Logo podemos aplicar o teorema.

Passo 3

Usamos linearidade da integral para separar os termos:
\int_{0}^{1}\left(z^{3/7}+2e^{z}\right)\,dz = \int_{0}^{1} z^{3/7}\,dz \;+\; \int_{0}^{1} 2e^{z}\,dz.
A propriedade usada: \int (f+g)=\int f + \int g e \int c\cdot g = c\int g para constante c.

Passo 4

Encontrar primitiva de z^{3/7} usando a regra da potência: para p\neq -1,
\int x^{p}\,dx = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C.
Aqui p=\tfrac{3}{7}. Então
p+1=\frac{3}{7}+1=\frac{3}{7}+\frac{7}{7}=\frac{10}{7},
e a primitiva de z^{3/7} é
\frac{z^{10/7}}{10/7} = \frac{7}{10}\,z^{10/7}.
Expliquei: somamos 1 ao expoente e dividimos por esse novo expoente; dividir por 10/7 equivale a multiplicar por 7/10.

Passo 5

Encontrar primitiva de 2e^{z}. Regra: \int e^{z}\,dz = e^{z}+C. Aplicando constante fora da integral:
\int 2e^{z}\,dz = 2\int e^{z}\,dz = 2e^{z}.

Passo 6

Juntando as primitivas, uma primitiva comum F da função integranda é
F(z)=\frac{7}{10}\,z^{10/7} + 2e^{z}.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, Parte II, calculamos
\int_{0}^{1}\left(z^{3/7}+2e^{z}\right)\,dz = F(1)-F(0).
Agora avaliamos F nos extremos:
F(1)=\frac{7}{10}\cdot 1^{10/7} + 2e^{1} = \frac{7}{10} + 2e,
F(0)=\frac{7}{10}\cdot 0^{10/7} + 2e^{0} = 0 + 2\cdot 1 = 2.

Passo 7

Subtraindo:
F(1)-F(0)=\left(\frac{7}{10}+2e\right)-2 = 2e + \frac{7}{10} - \frac{20}{10} = 2e - \frac{13}{10}.
Portanto o valor exato da integral é \,2e-\tfrac{13}{10}\,.

Resposta

\;2e-\dfrac{13}{10}\;

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