Use a parte II do (T.F.C) para Calcular as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a integral definida
Perguntas explícitas: calcular o valor numérico exato dessa integral. Informações relevantes que o enunciado fornece:
os limites de integração são
e
, e a função a ser integrada é a soma de duas funções mais simples:
e
.
Passo 2
Estratégia e justificativa teórica (a “parte II do T.F.C.”): se uma função
é contínua em
e
é uma primitiva de
(ou seja,
para todo
em
), então
Isso é o que normalmente chamamos de Teorema Fundamental do Cálculo, Parte II. Aqui precisamos:
- verificar que a função integranda é contínua em
; 2) encontrar uma primitiva ; 3) calcular .
Verificação de continuidade:é contínua em (para a potência racional com denominador ímpar fica bem definida) e é contínua em todo ; portanto a soma é contínua em . Logo podemos aplicar o teorema.
Passo 3
Usamos linearidade da integral para separar os termos:
A propriedade usada:
e
para constante
.
Passo 4
Encontrar primitiva de
usando a regra da potência: para
,
Aqui
. Então
e a primitiva de
é
Expliquei: somamos
ao expoente e dividimos por esse novo expoente; dividir por
equivale a multiplicar por
.
Passo 5
Encontrar primitiva de
. Regra:
. Aplicando constante fora da integral:
Passo 6
Juntando as primitivas, uma primitiva comum
da função integranda é
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, Parte II, calculamos
Agora avaliamos
nos extremos:
Passo 7
Subtraindo:
Portanto o valor exato da integral é
.