Use a parte II do (T.F.C) para Calcular as integrais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas e relevantes:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são iguais: ambos são
. - Queremos o valor numérico da integral.
Passo 2
Enunciado da Parte II do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C. II) — versão usada aqui:
se é contínua em
e
é uma primitiva (antiderivada) de
em
(ou seja,
para todo
em
), então
se
Explicação do que isto significa: uma “primitiva”
é uma função cuja derivada é exatamente
. O teorema diz que a integral definida de
entre
e
pode ser obtida avaliando qualquer primitiva nos extremos e fazendo a diferença.
Passo 3
Verificação das hipóteses do teorema para nossa função:
-
é polinômio, logo contínuo em todo . -
é soma de contínuas, logo contínua. - A função raiz quadrada
é contínua para argumentos positivos. - Em
temos e portanto . Logo é contínua numa vizinhança de (e em particular é contínua no intervalo , que é apenas o ponto ).
Portanto as hipóteses do T.F.C. II estão satisfeitas (existe primitiva localmente e a função é contínua no intervalo considerado).
Passo 4
Aplicação do T.F.C. II ao nosso caso: seja
uma primitiva de
. Pelo teorema,
Como
, concluímos que a integral vale
.
Observação didática e útil para prova: sempre que os limites de integração coincidem (
), a integral definida de qualquer função integrável é
, pois a área (orientada) sobre um intervalo de comprimento zero é zero. Esta afirmação é imediata usando o T.F.C. II sem precisar achar explicitamente uma primitiva.