Use a parte II do (T.F.C) para Calcular as integrais a seguir:
\int_{3}^{3} \sqrt{x^{5}+2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{3}^{3} \sqrt{x^{5}+2}\,dx.
Informações dadas e relevantes:
  • A função integranda é f(x)=\sqrt{x^{5}+2}.
  • Os limites de integração são iguais: ambos são 3.
  • Queremos o valor numérico da integral.

Passo 2

Enunciado da Parte II do Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C. II) — versão usada aqui:
se f é contínua em [a,b] e F é uma primitiva (antiderivada) de f em [a,b] (ou seja, F'(x)=f(x) para todo x em [a,b]), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Explicação do que isto significa: uma “primitiva” F é uma função cuja derivada é exatamente f. O teorema diz que a integral definida de f entre a e b pode ser obtida avaliando qualquer primitiva nos extremos e fazendo a diferença.

Passo 3

Verificação das hipóteses do teorema para nossa função:
  • x\mapsto x^{5} é polinômio, logo contínuo em todo \mathbb{R}.
  • x\mapsto x^{5}+2 é soma de contínuas, logo contínua.
  • A função raiz quadrada \sqrt{\cdot} é contínua para argumentos positivos.
  • Em x=3 temos 3^{5}=243 e portanto 3^{5}+2=245>0. Logo f(x)=\sqrt{x^{5}+2} é contínua numa vizinhança de x=3 (e em particular é contínua no intervalo [3,3], que é apenas o ponto 3).
    Portanto as hipóteses do T.F.C. II estão satisfeitas (existe primitiva localmente e a função é contínua no intervalo considerado).

Passo 4

Aplicação do T.F.C. II ao nosso caso: seja F uma primitiva de f(x)=\sqrt{x^{5}+2}. Pelo teorema,
\int_{3}^{3} \sqrt{x^{5}+2}\,dx = F(3)-F(3).
Como F(3)-F(3)=0, concluímos que a integral vale 0.
Observação didática e útil para prova: sempre que os limites de integração coincidem ( a=b), a integral definida de qualquer função integrável é 0, pois a área (orientada) sobre um intervalo de comprimento zero é zero. Esta afirmação é imediata usando o T.F.C. II sem precisar achar explicitamente uma primitiva.

Resposta

0

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