Use a 1^{2} parte do T.F.C. para calcular a derivada das seguintes funções:
G(x)=\int_{1}^{x^{4}} \operatorname{sec} (t) d t

Passo 1

O enunciado nos dá a função
G(x)=\int_{1}^{x^{4}}\operatorname{sec}(t)\,dt
e pede G'(x). O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1, junto com a regra da cadeia.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1, nos diz que se
F(x)=\int_{a}^{h(x)}f(t)\,dt
então
F'(x)=f\bigl(h(x)\bigr)\;h'(x).
Aqui temos f(t)=\operatorname{sec}(t) e h(x)=x^4.

Passo 3

Calculamos a derivada de h(x):
h'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^4\bigr)=4x^3.
Pelo teorema,
G'(x)=\operatorname{sec}\bigl(x^4\bigr)\cdot 4x^3.

Resposta

G'(x)=4x^3\,\operatorname{sec}(x^4).

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