Exresse os limites seguintes como uma integral definida no intervalo dado:
\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}^{3}+x_{i} \operatorname{sen}\left(x_{i}\right)\right) \Delta x, \quad[0, \pi]

Passo 1

O enunciado nos dá o limite de uma soma de Riemann
\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n}\bigl(x_{i}^{3}+x_{i}\sin(x_{i})\bigr)\,\Delta x
no intervalo [0,\pi]. O conteúdo aqui é a definição de integral definida como limite de somas de Riemann: reconhecemos \Delta x e a função f(x_{i}).

Passo 2

Em uma partição uniforme de [0,\pi] em n subintervalos, temos
\Delta x = \frac{\pi-0}{n} = \frac{\pi}{n},
e os pontos de amostragem podem ser escolhidos como
x_{i} = 0 + i\,\Delta x = \frac{i\pi}{n},
para i=1,2,\dots,n.

Passo 3

Na soma \sum_{i=1}^{n}\bigl(x_{i}^{3}+x_{i}\sin(x_{i})\bigr)\Delta x reconhecemos a forma
\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\,\Delta x
com f(x)=x^{3}+x\sin(x). Pelo teorema fundamental do cálculo para somas de Riemann, o limite dessa soma é a integral definida de f em [0,\pi].

Resposta

\int_{0}^{\pi}\bigl(x^{3}+x\sin(x)\bigr)\,dx

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