Calcule a integral definida
integral0^1 5 x-5^x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1 da função composta por um termo polinomial e um termo exponencial, ou seja, integral0^1l(5x - 5^xr),dx. O conteúdo envolve integração de monômio e de função exponencial de base 5, e vamos precisar aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Para integrar cada parcela, usamos as seguintes fórmulas: integração de monômio x e de exponencial de base a:
integral 5x,dx = 5 integral x,dx = 5 cdot x^22 = 52x^2,
integral 5^x,dx = 5^xln 5

Passo 3

Com isso, uma primitiva da função 5x - 5^x é
F(x) = 52x^2 - 5^xln 5

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
integral0^1l(5x - 5^xr),dx = F(1) - F(0)

Passo 5

Calculando os valores:
Para x=1:
F(1) = 52cdot1^2 - 5^1ln 5 = 52 - 5ln 5,
Para x=0:
F(0) = 52cdot0^2 - 5^0ln 5 = 0 - 1ln 5 = -1ln 5
Logo,
F(1) - F(0) = 52 - 5ln 5 + 1ln 5 = 52 - 4ln 5

Resposta

52 - 4ln 5

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