Use a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique por que ela não existe.
integral0^2 x(2+x^5) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral0^2 xl(2 + x^5r),dx usando a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que se f é contínua em [a,b] e F é uma antiderivada de f, então integrala^b f(x),dx = F(b) - F(a). Vamos precisar encontrar F(x) tal que F'(x) = x(2 + x^5).

Passo 2

A função f(x)=x(2 + x^5) é um polinômio, logo é contínua em [0,2]. Para facilitar, expandimos o integrando:
x(2 + x^5) = 2x + x^6

Passo 3

Agora calculamos uma antiderivada F(x) integrando termo a termo:
integral 2x,dx = x^2 + C1,
integral x^6,dx = x^77 + C2
Combinando, podemos tomar
F(x) = x^2 + x^77

Passo 4

Aplicando a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo temos:
integral0^2 x(2 + x^5),dx = F(2) - F(0)

Passo 5

Calculando as imagens:
F(2) = 2^2 + 2^77 = 4 + 1287 = 287 + 1287 = 1567,
F(0) = 0^2 + 0^77 = 0
Portanto,
integral0^2 x(2 + x^5),dx = 1567

Resposta

1567

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