Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique porque ela não existe. \int_{0}^{\pi / 4} \operatorname{sec} t d t
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sec} t \, dt
ou explicar por que ela não existe. As informações relevantes dadas são:
O integrando é \operatorname{sec} t, que por definição é \operatorname{sec} t = \dfrac{1}{\cos t}.
O intervalo de integração é [0,\pi/4].
Não há outras informações (por exemplo, sobre descontinuidade na figura), então devo trabalhar com os dados acima.
Passo 2
Verificar se a integral existe usando a condição de continuidade necessária para aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 2). Explico devagarinho:
A função \cos t é contínua em toda a reta real.
Nos pontos t=0 e t=\pi/4 temos \cos 0 = 1 e \cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, ambos estritamente positivos.
Como \cos t é contínua e não se anula em [0,\pi/4], o quociente \operatorname{sec} t = \dfrac{1}{\cos t} é contínuo em [0,\pi/4].
Conclusão: o integrando é contínuo no intervalo fechado, portanto a integral definida existe e podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 2).
Passo 3
Enunciar a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo (forma que vou usar) e explicar cada símbolo:
\text{Se }f\text{ é contínua em }[a,b]\text{ e }F\text{ é uma primitiva de }f\text{ (ou seja, }F'(x)=f(x)\text{)},\text{ então}
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui: f é a função integrando (\operatorname{sec} t), a=0, b=\pi/4 e F é qualquer antiderivada de f. Nossa tarefa: encontrar uma primitiva F de f(t)=\operatorname{sec} t e então calcular F(\pi/4)-F(0).
Passo 4
Achar uma primitiva de \operatorname{sec} t. Vou explicar o truque clássico passo a passo (muito usado nas provas):
Queremos calcular \displaystyle\int \operatorname{sec} t \, dt.
Considere a expressão u = \operatorname{sec} t + \tan t. Vou diferenciar para ver uma relação útil:
\frac{du}{dt} = \operatorname{sec} t \tan t + \operatorname{sec}^2 t = \operatorname{sec} t(\tan t + \operatorname{sec} t).
Reescrevendo, obtemos
\operatorname{sec} t(\tan t + \operatorname{sec} t)\,dt = du.
Agora isolo \operatorname{sec} t\,dt:
\operatorname{sec} t\,dt = \frac{du}{\tan t + \operatorname{sec} t}.
Mas note que \tan t + \operatorname{sec} t = u. Logo
\operatorname{sec} t\,dt = \frac{du}{u}.
Portanto a integral vira
\int \operatorname{sec} t\,dt = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C.
Voltando para t, u=\operatorname{sec} t + \tan t, obtemos uma primitiva válida:
F(t) = \ln\bigl|\operatorname{sec} t + \tan t\bigr| + C.
Observação: na nossa intervalinho [0,\pi/4] temos \operatorname{sec} t + \tan t>0, então o módulo é redundante, mas mantive a forma geral.
Passo 5
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo com a primitiva encontrada. Usamos