Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique porque ela não existe.
\int_{0}^{\pi / 4} \operatorname{sec} t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sec} t \, dt
ou explicar por que ela não existe. As informações relevantes dadas são:
  1. O integrando é \operatorname{sec} t, que por definição é \operatorname{sec} t = \dfrac{1}{\cos t}.
  2. O intervalo de integração é [0,\pi/4].
  3. Não há outras informações (por exemplo, sobre descontinuidade na figura), então devo trabalhar com os dados acima.

Passo 2

Verificar se a integral existe usando a condição de continuidade necessária para aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 2). Explico devagarinho:
  • A função \cos t é contínua em toda a reta real.
  • Nos pontos t=0 e t=\pi/4 temos \cos 0 = 1 e \cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, ambos estritamente positivos.
  • Como \cos t é contínua e não se anula em [0,\pi/4], o quociente \operatorname{sec} t = \dfrac{1}{\cos t} é contínuo em [0,\pi/4].
    Conclusão: o integrando é contínuo no intervalo fechado, portanto a integral definida existe e podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 2).

Passo 3

Enunciar a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo (forma que vou usar) e explicar cada símbolo:
\text{Se }f\text{ é contínua em }[a,b]\text{ e }F\text{ é uma primitiva de }f\text{ (ou seja, }F'(x)=f(x)\text{)},\text{ então}éíéã
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui: f é a função integrando ( \operatorname{sec} t), a=0, b=\pi/4 e F é qualquer antiderivada de f. Nossa tarefa: encontrar uma primitiva F de f(t)=\operatorname{sec} t e então calcular F(\pi/4)-F(0).

Passo 4

Achar uma primitiva de \operatorname{sec} t. Vou explicar o truque clássico passo a passo (muito usado nas provas):
Queremos calcular \displaystyle\int \operatorname{sec} t \, dt.
  1. Considere a expressão u = \operatorname{sec} t + \tan t. Vou diferenciar para ver uma relação útil:
\frac{du}{dt} = \operatorname{sec} t \tan t + \operatorname{sec}^2 t = \operatorname{sec} t(\tan t + \operatorname{sec} t).
  1. Reescrevendo, obtemos
\operatorname{sec} t(\tan t + \operatorname{sec} t)\,dt = du.
  1. Agora isolo \operatorname{sec} t\,dt:
\operatorname{sec} t\,dt = \frac{du}{\tan t + \operatorname{sec} t}.
Mas note que \tan t + \operatorname{sec} t = u. Logo
\operatorname{sec} t\,dt = \frac{du}{u}.
  1. Portanto a integral vira
\int \operatorname{sec} t\,dt = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C.
  1. Voltando para t, u=\operatorname{sec} t + \tan t, obtemos uma primitiva válida:
F(t) = \ln\bigl|\operatorname{sec} t + \tan t\bigr| + C.
Observação: na nossa intervalinho [0,\pi/4] temos \operatorname{sec} t + \tan t>0, então o módulo é redundante, mas mantive a forma geral.

Passo 5

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo com a primitiva encontrada. Usamos
F(t)=\ln\bigl(\operatorname{sec} t + \tan t\bigr)
(no intervalo dado o argumento é positivo). Então
\int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sec} t\,dt = F\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) - F(0).

Passo 6

Calcular os valores nos extremos (aqui peguei os valores das funções trigonométricas nos pontos do enunciado):
  • Em t=0:
\operatorname{sec} 0 = 1,\qquad \tan 0 = 0,\qquad \operatorname{sec} 0 + \tan 0 = 1.
  • Em t=\pi/4:
\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\frac{1}{\cos(\pi/4)}=\frac{1}{\sqrt{2}/2}=\sqrt{2},
\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1,\qquad \operatorname{sec}\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)+\tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\sqrt{2}+1.

Passo 7

Substituir na expressão do Teorema:
\int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sec} t\,dt = \ln\bigl(\sqrt{2}+1\bigr) - \ln(1).
Como \ln(1)=0, obtemos
\int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sec} t\,dt = \ln\bigl(\sqrt{2}+1\bigr).

Resposta

\ln(\sqrt{2}+1)

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