Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique porque ela não existe.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
ou explicar por que ela não existe. Informações dadas e observações imediatas que vêm do enunciado:
- O integrando é
, que escrevo também como . - Os limites de integração são
e . Note que é maior que (ou seja, os limites estão “invertidos”). - A função
está indefinida onde , isto é, em com . - Em particular,
, então o ponto (um dos limites de integração) é um ponto de descontinuidade da função. Portanto a integral é imprópria por causa de um ponto singular no limite de integração.
Passo 2
Explico por que não podemos aplicar diretamente a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC2): essa versão do teorema exige que a função integranda seja contínua no intervalo fechado entre os limites. Aqui a função
não é contínua em
(pois diverge ali), logo não podemos simplesmente escrever
com
antiderivada e encerrar o problema. Precisamos tratar a integral como uma integral imprópria e usar limites.
Passo 3
Como o limite inferior é maior que o superior, uso a propriedade de troca de limites:
Agora a integral no lado direito tem o problema de ser imprópria apenas no extremo
(ponto onde a função explode). Então definimos essa integral como limite:
ou seja, aproximamos
por valores
.
Passo 4
Precisamos de uma antiderivada de
. Lembro uma derivada conhecida:
- A derivada de
é .
Logo uma antiderivada deé , porque
(Se quiser ver rapidamente a derivada:
; usando quociente dá
.)
Passo 5
Com a antiderivada em mãos, escrevo a integral definida intermediária para
:
Agora tomamos o limite quando
.
Passo 6
Estudo o comportamento de
quando
. Faço
com
pequeno. Então
e
Portanto
Ou seja,
tende a
ao nos aproximarmos de
pela esquerda.
Passo 7
Volto ao limite da integral:
Como
, o termo
tende a
. O outro termo
é apenas um número finito. Logo o limite é
. Concluímos que
ou seja, essa integral imprópria diverge ao infinito.
Passo 8
Lembrando o sinal da troca de limites do Passo 3, temos
Portanto a integral não converge para um número real finito; ela diverge para
. Em particular, não existe como número finito, e por isso não podemos aplicar diretamente a Parte 2 do TFC sem tratar a integral como imprópria (e o tratamento mostrou divergência).
Resposta
Não existe (a integral diverge para
).