Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique porque ela não existe.
\int_{\pi}^{2 / \pi} \operatorname{cossec}^{2} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{\pi}^{2/\pi} \operatorname{cossec}^{2}\theta\,d\theta
ou explicar por que ela não existe. Informações dadas e observações imediatas que vêm do enunciado:
  • O integrando é \operatorname{cossec}^{2}\theta, que escrevo também como \csc^{2}\theta.
  • Os limites de integração são a=\pi e b=2/\pi. Note que a=\pi\approx3{,}1416 é maior que b=2/\pi\approx0{,}6366 (ou seja, os limites estão “invertidos”).
  • A função \csc^{2}\theta está indefinida onde \sin\theta=0, isto é, em \theta=k\pi com k\in\mathbb{Z}.
  • Em particular, \sin\pi=0, então o ponto \theta=\pi (um dos limites de integração) é um ponto de descontinuidade da função. Portanto a integral é imprópria por causa de um ponto singular no limite de integração.

Passo 2

Explico por que não podemos aplicar diretamente a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC2): essa versão do teorema exige que a função integranda seja contínua no intervalo fechado entre os limites. Aqui a função \csc^{2}\theta não é contínua em \theta=\pi (pois diverge ali), logo não podemos simplesmente escrever
\int_{\pi}^{2/\pi}\csc^{2}\theta\,d\theta = F\!\left(\tfrac{2}{\pi}\right)-F(\pi)
com F antiderivada e encerrar o problema. Precisamos tratar a integral como uma integral imprópria e usar limites.

Passo 3

Como o limite inferior é maior que o superior, uso a propriedade de troca de limites:
\int_{\pi}^{2/\pi}\csc^{2}\theta\,d\theta = -\int_{2/\pi}^{\pi}\csc^{2}\theta\,d\theta.
Agora a integral no lado direito tem o problema de ser imprópria apenas no extremo \theta=\pi (ponto onde a função explode). Então definimos essa integral como limite:
\int_{2/\pi}^{\pi}\csc^{2}\theta\,d\theta = \lim_{t\to\pi^-}\int_{2/\pi}^{t}\csc^{2}\theta\,d\theta,
ou seja, aproximamos \pi por valores t<\pi.

Passo 4

Precisamos de uma antiderivada de \csc^{2}\theta. Lembro uma derivada conhecida:
  • A derivada de \cot\theta é \dfrac{d}{d\theta}\cot\theta = -\csc^{2}\theta.
    Logo uma antiderivada de \csc^{2}\theta é -\cot\theta, porque
\frac{d}{d\theta}\bigl(-\cot\theta\bigr) = -\bigl(-\csc^{2}\theta\bigr) = \csc^{2}\theta.
(Se quiser ver rapidamente a derivada: \cot\theta=\cos\theta/\sin\theta; usando quociente dá -\csc^{2}\theta.)

Passo 5

Com a antiderivada em mãos, escrevo a integral definida intermediária para t<\pi:
\int_{2/\pi}^{t}\csc^{2}\theta\,d\theta = \bigl[-\cot\theta\bigr]_{2/\pi}^{t} = -\cot t + \cot\!\left(\tfrac{2}{\pi}\right).
Agora tomamos o limite quando t\to\pi^-.

Passo 6

Estudo o comportamento de \cot t quando t\to\pi^-. Faço t=\pi-\varepsilon com \varepsilon>0 pequeno. Então
\sin t=\sin(\pi-\varepsilon)=\sin\varepsilon\sim \varepsilon>0
e
\cos t=\cos(\pi-\varepsilon)=-\cos\varepsilon\sim -1.
Portanto
\cot t=\frac{\cos t}{\sin t}\sim \frac{-1}{\varepsilon}\to -\infty \quad\text{quando }\varepsilon\to0^+.
Ou seja, \cot t tende a -\infty ao nos aproximarmos de \pi pela esquerda.

Passo 7

Volto ao limite da integral:
\lim_{t\to\pi^-}\bigl(-\cot t + \cot(\tfrac{2}{\pi})\bigr).
Como \cot t\to -\infty, o termo -\cot t tende a +\infty. O outro termo \cot(2/\pi) é apenas um número finito. Logo o limite é +\infty. Concluímos que
\int_{2/\pi}^{\pi}\csc^{2}\theta\,d\theta = +\infty,
ou seja, essa integral imprópria diverge ao infinito.

Passo 8

Lembrando o sinal da troca de limites do Passo 3, temos
\int_{\pi}^{2/\pi}\csc^{2}\theta\,d\theta = -\int_{2/\pi}^{\pi}\csc^{2}\theta\,d\theta = -(+\infty) = -\infty.
Portanto a integral não converge para um número real finito; ela diverge para -\infty. Em particular, não existe como número finito, e por isso não podemos aplicar diretamente a Parte 2 do TFC sem tratar a integral como imprópria (e o tratamento mostrou divergência).

Resposta

Não existe (a integral diverge para -\infty).

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