Use a Parte 1 do TFC para encontrar a derivada da função:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
Informações dadas:
- A função integranda é
. - A variável de integração é
. - O limite inferior da integral é
(variável), o limite superior é a constante . - Queremos
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Apresentando o enunciado da Parte 1 do TFC (forma mais usada): se
é contínua em um intervalo que contém
e
, e definimos
então
é diferenciável e
O que isso significa, explicado devagarinho:
-
é uma constante (um ponto fixo). -
é a variável de integração (uso interno da integral). -
é a variável em relação à qual diferenciamos.
Intuição/justificativa curta: para um pequeno incremento,
Pelo Teorema do Valor Médio para integrais existe
tal que essa integral vale
. Dividindo por
e fazendo
, obtemos
, já que
e
é contínua.
Passo 3
Como usamos essa regra quando o limite variável está no alto ou embaixo?
- Se a integral é da forma
, então a derivada é (como vimos). - Se a integral é da forma
(limite inferior variável), podemos reescrever mudando a ordem dos limites:
Aplicando o caso anterior à função
temos
. Portanto, diferenciando o sinal menos,
Assim, trocar o limite variável de cima para baixo inverte o sinal da derivada.
Passo 4
Aplicando ao nosso problema: identifique
Aqui
(que é contínua para todo
), o limite inferior é
e o limite superior é a constante
. Pelo resultado do passo anterior,
Se você preferir ver o mesmo cálculo reescrito:
. Pela Parte 1 do TFC, a derivada de
é
; com o sinal negativo,
.
Passo 5
Um exemplo rápido para fixar: se
, seguindo a mesma ideia
. Isso mostra como o sinal fica negativo quando a variável é o limite inferior.