Use a Parte 1 do TFC para encontrar a derivada da função:
F(x)=\int_{x}^{2} \cos t^{2} d t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
F(x)=\int_{x}^{2}\cos t^{2}\,dt.
Informações dadas:
  • A função integranda é \cos t^{2}.
  • A variável de integração é t.
  • O limite inferior da integral é x (variável), o limite superior é a constante 2.
  • Queremos F'(x), a derivada de F em relação a x.

Passo 2

Apresentando o enunciado da Parte 1 do TFC (forma mais usada): se f é contínua em um intervalo que contém a e x, e definimos
G(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt,
então G é diferenciável e
G'(x)=f(x).
O que isso significa, explicado devagarinho:
  • a é uma constante (um ponto fixo).
  • t é a variável de integração (uso interno da integral).
  • x é a variável em relação à qual diferenciamos.
    Intuição/justificativa curta: para um pequeno incremento h,
G(x+h)-G(x)=\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt.
Pelo Teorema do Valor Médio para integrais existe c\in[x,x+h] tal que essa integral vale f\text{(c)}\,h. Dividindo por h e fazendo h\to0, obtemos G'(x)=\lim_{h\to0}f\text{(c)}=f(x), já que c\to x e f é contínua.

Passo 3

Como usamos essa regra quando o limite variável está no alto ou embaixo?
  • Se a integral é da forma \displaystyle \int_{a}^{x} f(t)\,dt, então a derivada é f(x) (como vimos).
  • Se a integral é da forma \displaystyle \int_{x}^{b} f(t)\,dt (limite inferior variável), podemos reescrever mudando a ordem dos limites:
\int_{x}^{b} f(t)\,dt = -\int_{b}^{x} f(t)\,dt.
Aplicando o caso anterior à função H(x)=\int_{b}^{x} f(t)\,dt temos H'(x)=f(x). Portanto, diferenciando o sinal menos,
\frac{d}{dx}\int_{x}^{b} f(t)\,dt = -f(x).
Assim, trocar o limite variável de cima para baixo inverte o sinal da derivada.

Passo 4

Aplicando ao nosso problema: identifique
F(x)=\int_{x}^{2}\cos t^{2}\,dt.
Aqui f(t)=\cos t^{2} (que é contínua para todo t), o limite inferior é x e o limite superior é a constante 2. Pelo resultado do passo anterior,
F'(x) = -\,f(x) = -\cos x^{2}.
Se você preferir ver o mesmo cálculo reescrito: \displaystyle F(x)=-\int_{2}^{x}\cos t^{2}\,dt. Pela Parte 1 do TFC, a derivada de \int_{2}^{x}\cos t^{2}\,dt é \cos x^{2}; com o sinal negativo, F'(x)=-\cos x^{2}.

Passo 5

Um exemplo rápido para fixar: se G(x)=\int_{x}^{3} e^{t}\,dt, seguindo a mesma ideia G'(x)=-e^{x}. Isso mostra como o sinal fica negativo quando a variável é o limite inferior.

Resposta

-\cos x^{2}

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