Seja
a) Faça uma tabela de pontos para
;
b) Determine os pontos do domínio de
;
c) Determine os pontos da imagem de
;
d) Como são as curvas de nível dessa função ?
a) Faça uma tabela de pontos para
b) Determine os pontos do domínio de
c) Determine os pontos da imagem de
d) Como são as curvas de nível dessa função ?
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede quatro coisas:
- (a) Fazer uma tabela de pontos para
. - (b) Determinar os pontos do domínio de
. - (c) Determinar os pontos da imagem (contradomínio efetivo) de
. - (d) Descrever como são as curvas de nível dessa função.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A expressão sob a raiz é
. - A raiz quadrada exige que o radicando seja maior ou igual a zero.
- Não há restrição explícita sobre
no enunciado.
Passo 2
Entendendo a restrição da raiz (preparação para o domínio). Vou explicar com calma: a função
só está definida para argumentos não negativos. Portanto precisamos que
Isso é uma desigualdade em
. Resolvendo-a:
Tomando raiz em ambos os lados (lembrando de considerar sinais),
Como não apareceu nenhuma restrição sobre
,
pode ser qualquer número real. Conclusão do domínio (final formal):
Essa será útil para escolher os
na tabela de pontos.
Passo 3
(a) Fazer uma tabela de pontos — escolha de pontos didática.
Como
não depende de
(apenas de
), valores com mesmo
têm mesmo valor de
. Vou apresentar pontos com três valores distintos de
e cinco valores representativos de
no domínio:
. Calculo
para cada
.
Cálculo dos valores de
:
Agora apresento a “tabela” (lista de pontos) escolhida, mostrando que
é livre:
,
,
;
,
;
,
,
;
,
;
,
,
.
Esses pontos ilustram os valores extremos e um valor intermediário.
Passo 4
(c) Determinar a imagem (conjunto de valores que
assume).
Explicação didática: como já vimos,
é sempre
. Sobre o máximo e mínimo desse termo:
-
para todo , logo . Assim . O valor máximo ocorre quando . - O valor mínimo é
, que ocorre quando , ou seja .
Portanto o termo
varia em
. Como
, adicionamos
a esse intervalo e obtemos a imagem:
Detalhe:
é atingido (por exemplo em
) e
é atingido (em
), então os extremos estão incluídos.
Passo 5
(d) Curvas de nível — definição e derivação.
Definição rápida: a curva de nível para um valor
é o conjunto
Para nossa função, escrevemos a equação do nível e resolvemos:
Para existir solução precisamos que
(pois o lado esquerdo é
) e ainda
pertença à imagem
. Agora elevando ao quadrado (com cuidado: só após garantir
):
Assim
desde que o radicando
seja
. Observações geométricas importantes e didáticas:
- O valor de
não aparece na equação final, ou seja, para cada solução de o é livre em . Portanto as curvas de nível são retas horizontais (paralelas ao eixo ). - Para um
com obtemos duas linhas horizontais simétricas e . - Para
temos e , logo a curva de nível é a única linha . - Para
temos e , logo as curvas de nível são as duas linhas . - Para
não há curvas de nível (conjunto vazio).
Exemplo concreto: para
obtemos
, logo as curvas de nível são
, cada uma com
.
Resumo geométrico: todas as curvas de nível são linhas horizontais (uma ou duas, dependendo de
) dentro da faixa vertical
.
Resposta
a)
,
,
;
,
;
,
,
;
,
;
,
,
.
b)
.
c)
.
d) Para
as curvas de nível são dadas por
com
. Para
são duas linhas horizontais simétricas; para
é a linha
; para
são as linhas
; para
não há curvas de nível.