Seja F(x, y)=1+\sqrt{4-y^{2}}
a) Faça uma tabela de pontos para F;
b) Determine os pontos do domínio de F;
c) Determine os pontos da imagem de F;
d) Como são as curvas de nível dessa função ?

Passo 1

O enunciado fornece a função F(x,y)=1+\sqrt{4-y^{2}} e pede quatro coisas:
  1. (a) Fazer uma tabela de pontos para F.
  2. (b) Determinar os pontos do domínio de F.
  3. (c) Determinar os pontos da imagem (contradomínio efetivo) de F.
  4. (d) Descrever como são as curvas de nível dessa função.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A expressão sob a raiz é 4-y^{2}.
  • A raiz quadrada exige que o radicando seja maior ou igual a zero.
  • Não há restrição explícita sobre x no enunciado.

Passo 2

Entendendo a restrição da raiz (preparação para o domínio). Vou explicar com calma: a função \sqrt{\,\cdot\,} só está definida para argumentos não negativos. Portanto precisamos que
4-y^{2}\ge 0.
Isso é uma desigualdade em y. Resolvendo-a:
4-y^{2}\ge 0\iff y^{2}\le 4.
Tomando raiz em ambos os lados (lembrando de considerar sinais),
|y|\le 2\iff -2\le y\le 2.
Como não apareceu nenhuma restrição sobre x, x pode ser qualquer número real. Conclusão do domínio (final formal):
\text{Dom}(F)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -2\le y\le 2\}.
Essa será útil para escolher os y na tabela de pontos.

Passo 3

(a) Fazer uma tabela de pontos — escolha de pontos didática.
Como F não depende de x (apenas de y), valores com mesmo y têm mesmo valor de F. Vou apresentar pontos com três valores distintos de x e cinco valores representativos de y no domínio: -2,-1,0,1,2. Calculo F para cada y.
Cálculo dos valores de F:
y=-2:\quad \sqrt{4-y^{2}}=\sqrt{4-4}=0\Rightarrow F=1+0=1.
y=-1:\quad \sqrt{4-y^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\Rightarrow F=1+\sqrt{3}.
y=0:\quad \sqrt{4-y^{2}}=\sqrt{4}=2\Rightarrow F=1+2=3.
y=1:\quad \sqrt{4-y^{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow F=1+\sqrt{3}.
y=2:\quad \sqrt{4-y^{2}}=0\Rightarrow F=1.
Agora apresento a “tabela” (lista de pontos) escolhida, mostrando que x é livre:
( -1,-2)\mapsto 1, (0,-2)\mapsto 1, (2,-2)\mapsto 1;
( -1,-1)\mapsto 1+\sqrt{3}, (0,-1)\mapsto 1+\sqrt{3};
( -1,0)\mapsto 3, (0,0)\mapsto 3, (2,0)\mapsto 3;
( -1,1)\mapsto 1+\sqrt{3}, (0,1)\mapsto 1+\sqrt{3};
( -1,2)\mapsto 1, (0,2)\mapsto 1, (2,2)\mapsto 1.
Esses pontos ilustram os valores extremos e um valor intermediário.

Passo 4

(c) Determinar a imagem (conjunto de valores que F assume).
Explicação didática: como já vimos, \sqrt{4-y^{2}} é sempre \ge 0. Sobre o máximo e mínimo desse termo:
  • y^{2}\ge 0 para todo y, logo 4-y^{2}\le 4. Assim \sqrt{4-y^{2}}\le \sqrt{4}=2. O valor máximo 2 ocorre quando y=0.
  • O valor mínimo é 0, que ocorre quando y^{2}=4, ou seja y=\pm 2.
Portanto o termo \sqrt{4-y^{2}} varia em [0,2]. Como F(x,y)=1+\sqrt{4-y^{2}}, adicionamos 1 a esse intervalo e obtemos a imagem:
\text{Im}(F)=[1,3].
Detalhe: 1 é atingido (por exemplo em y=\pm 2) e 3 é atingido (em y=0), então os extremos estão incluídos.

Passo 5

(d) Curvas de nível — definição e derivação.
Definição rápida: a curva de nível para um valor c é o conjunto
L_{c}=\{(x,y)\in\text{Dom}(F)\mid F(x,y)=c\}.
Para nossa função, escrevemos a equação do nível e resolvemos:
F(x,y)=c\iff 1+\sqrt{4-y^{2}}=c\iff \sqrt{4-y^{2}}=c-1.
Para existir solução precisamos que c-1\ge 0 (pois o lado esquerdo é \ge0) e ainda c pertença à imagem [1,3]. Agora elevando ao quadrado (com cuidado: só após garantir c-1\ge0):
4-y^{2}=(c-1)^{2}\iff y^{2}=4-(c-1)^{2}.
Assim
y=\pm\sqrt{\,4-(c-1)^{2}\,},
desde que o radicando 4-(c-1)^{2} seja \ge 0. Observações geométricas importantes e didáticas:
  • O valor de x não aparece na equação final, ou seja, para cada solução de y o x é livre em \mathbb{R}. Portanto as curvas de nível são retas horizontais (paralelas ao eixo x).
  • Para um c com 1<c<3 obtemos duas linhas horizontais simétricas y=+\sqrt{4-(c-1)^{2}} e y=-\sqrt{4-(c-1)^{2}}.
  • Para c=3 temos c-1=2 e y^{2}=0, logo a curva de nível é a única linha y=0.
  • Para c=1 temos c-1=0 e y^{2}=4, logo as curvas de nível são as duas linhas y=\pm 2.
  • Para c\notin[1,3] não há curvas de nível (conjunto vazio).
Exemplo concreto: para c=2 obtemos y^{2}=4-(2-1)^{2}=4-1=3, logo as curvas de nível são y=\pm\sqrt{3}, cada uma com x\in\mathbb{R}.
Resumo geométrico: todas as curvas de nível são linhas horizontais (uma ou duas, dependendo de c) dentro da faixa vertical -2\le y\le 2.

Resposta

a) ( -1,-2)\mapsto 1, (0,-2)\mapsto 1, (2,-2)\mapsto 1; ( -1,-1)\mapsto 1+\sqrt{3}, (0,-1)\mapsto 1+\sqrt{3}; ( -1,0)\mapsto 3, (0,0)\mapsto 3, (2,0)\mapsto 3; ( -1,1)\mapsto 1+\sqrt{3}, (0,1)\mapsto 1+\sqrt{3}; ( -1,2)\mapsto 1, (0,2)\mapsto 1, (2,2)\mapsto 1.
b) \text{Dom}(F)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -2\le y\le 2\}.
c) \text{Im}(F)=[1,3].
d) Para c\in[1,3] as curvas de nível são dadas por y=\pm\sqrt{4-(c-1)^{2}} com x\in\mathbb{R}. Para 1<c<3 são duas linhas horizontais simétricas; para c=3 é a linha y=0; para c=1 são as linhas y=\pm 2; para c\notin[1,3] não há curvas de nível.

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