Use o Pequeno Teorema de Fermat e propriedades de congruência para encontar os restos das divisões indicadas abaixo:
(c) 15^{175} por 11

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de 15^{175} por 11. O conteúdo é exponenciação modular e usaremos o Pequeno Teorema de Fermat (que diz que, para primo p e inteiro a não múltiplo de p, vale \,a^{p-1}\equiv1\pmod p) e propriedades de congruência.

Passo 2

Reduzimos a base módulo 11:
15 \equiv 15 - 11 = 4 \pmod{11},
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15^{175} \equiv 4^{175} \pmod{11}.

Passo 3

Pelo Pequeno Teorema de Fermat com p=11, temos
4^{10} \equiv 1 \pmod{11}.
Escrevemos o expoente 175 em função de 10:
175 = 10\cdot17 + 5.

Passo 4

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4^{175} = 4^{10\cdot17 + 5} = \bigl(4^{10}\bigr)^{17}\cdot 4^5 \equiv 1^{17}\cdot 4^5 \equiv 4^5 \pmod{11}.

Passo 5

Calculamos 4^5 em etapas reduzindo módulo 11:
4^2 = 16 \equiv 5 \pmod{11},
4^4 = (4^2)^2 \equiv 5^2 =25 \equiv 3 \pmod{11},
4^5 = 4^4\cdot4 \equiv 3\cdot4 =12 \equiv 1 \pmod{11}.

Passo 6

Portanto,
4^{175} \equiv 4^5 \equiv 1 \pmod{11},
e assim
15^{175} \equiv 1 \pmod{11}.

Resposta

O resto da divisão de 15^{175} por 11 é 1.

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