Em cada item, elabore as curvas de nível e tente fazer um esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (1) elaborar as curvas de nível; (2) fazer um esboço do gráfico (isto é, da superfície no espaço
com
).\n\nInformações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n\n- A função é
.\n- Precisamos encontrar as curvas de nível (conjunto de pontos
com o mesmo valor de
).\n- Precisamos também descrever/esboçar o gráfico tridimensional da superfície
.\n\nNenhuma outra informação (figura ou tabela) foi enviada.
Passo 2
O que é uma curva de nível? Vou explicar passo a passo, sem pressa: uma curva de nível para um valor fixo
é o conjunto de pontos
que satisfazem
. Na prática, fixamos um número
e resolvemos a equação em
e
; o resultado (se existir) é a curva no plano
onde a função toma o valor
.\n\nPor isso o procedimento padrão é:\n\n1. Escolher um valor
.\n2. Resolver
em termos de
e
.\n3. Interpretar geometricamente o conjunto obtido (reta, círculo, elipse etc.).\n\nAgora aplicamos isso à função dada.
Passo 3
Vamos determinar a curva de nível geral. Começamos fixando um valor
e escrevendo:\n
\nMultiplicando ambos os lados por
e depois isolando os termos, obtemos:\n
\n
\n
\nSe
, dividimos por
:\n
\nPortanto, para qualquer
que satisfaça as condições a seguir, a curva de nível é um círculo centrado na origem com raio\n
Passo 4
Agora precisamos determinar quais valores de
fazem sentido — isto é, o intervalo de valores que
pode assumir (o contradomínio efetivo).\n\nObserve que
para todos os
, então
. Assim\n
\nLogo o alcance (imagem) de
é
.\n\nConsequências:\n\n- Para
temos
, ou seja, apenas o ponto
(raio
).\n- Para
obtemos círculos de raio
.\n- Não existe curva de nível para
nem para
.\n- Quando
temos
: as curvas de nível se expandem indefinidamente quando o valor da função se aproxima de zero.
Passo 5
Vamos fazer exemplos concretos (útil para o esboço no plano
). Escolho alguns valores práticos de
e calculo os raios.\n\n1)
:\n
\nCurva de nível: apenas o ponto
.\n\n2)
:\n
\nCurva de nível: círculo de raio
centrado em
.\n\n3)
:\n
\nCurva de nível: círculo de raio
.\n\n4)
:\n
\nCurva de nível: círculo de raio
.\n\nEsses exemplos mostram que valores menores de
correspondem a círculos maiores; valores próximos de
concentram-se perto da origem.
Passo 6
Como esboçar as curvas de nível no plano
:\n\n- Desenhe o ponto
para
.\n- Desenhe círculos concêntricos de raios
correspondendo a
.\n- Marque cada círculo com o valor de
correspondente (ou com o raio). Assim fica claro que à medida que nos afastamos da origem o valor de
diminui.\n\nObservação sobre espaçamento: os círculos com pequenos raiox próximos da origem mudam muito o
; conforme
cresce mais, pequenas alterações em
produzem grandes variações em
. Em termos práticos para o esboço, use alguns círculos bem espaçados (por exemplo os exemplos acima) para visualizar a estrutura.
Passo 7
Agora vamos descrever e esboçar o gráfico tridimensional
.\n\n1) Simetria radial:
depende apenas de
, porque
. Logo a superfície é uma superfície de revolução em torno do eixo
.\n\n2) Valor máximo: em
temos\n
\nPortanto o ponto mais alto da superfície é
.\n\n3) Comportamento quando
:\n
\nLogo a superfície desce assintoticamente para
quando nos afastamos da origem; o plano
é uma assíntota horizontal inferior (a função se aproxima de zero, sem atingir zero).\n\n4) Seção radial (perfil): numa direção qualquer, por exemplo
, o perfil é\n
\nEsse gráfico em
tem um pico em
com
e decai como
para grandes
. Girando esse perfil em torno do eixo
obtemos a superfície completa.\n\n5) Forma visual: pense num “morro” suave, simétrico, com topo pontudo arredondado em
no centro e que vai caindo até perto de
longe do centro — parecido com um pequeno monte, não tão pontudo quanto um cone, mais arredondado (é contínuo e infinitamente diferenciável).
Passo 8
Um pouco de cálculo para entender inclinação e direções:\n\nCalcule as derivadas parciais (úteis para saber direção de subida/descida):\n
\n
\nAssim o gradiente é\n
\nIsto mostra:\n\n- O gradiente é radial (paralelo ao vetor
), mas com sinal negativo: aponta para a origem. Isso faz sentido porque o valor de
diminui quando nos afastamos do centro e aumenta quando nos aproximamos do centro.\n- O gradiente é ortogonal às curvas de nível (propriedade geral: gradiente é perpendicular às curvas de nível), então em cada círculo ele aponta para dentro, em direção ao centro.
Passo 9
Ponto crítico e classificação (útil para a prova):\n\n- O único ponto crítico é
porque
.\n\nPara classificar, examinamos as segundas derivadas em
. Das fórmulas acima, avaliando as segundas derivadas em
obtém-se\n
\nA matriz Hessiana em
tem traço negativo e determinante positiva (pois
), portanto
é um máximo local. Como
tende a
quando
, esse máximo é também o máximo global com valor
.\n\nNão há mínimos globais alcançados; o ínfimo é
mas nunca atingido.
Passo 10
Passos práticos para fazer o esboço na prova (dicas rápidas e eficientes):\n\n1. No plano
: desenhe círculos concêntricos para alguns valores de
(por exemplo
) usando os raios calculados.\n2. No espaço 3D: marque o ponto
como topo. Em seguida, desenhe perfis ao longo dos eixos
e
com a curva
(para
e
respectivamente).\n3. Rode o perfil em volta do eixo
mentalmente para completar o monte simétrico. Marque que a superfície se aproxima do plano
para grandes
e
.\n\nRespire fundo: seguindo esses passos você produz um esboço claro e correto em pouco tempo.
Resposta
Curvas de nível: são círculos centrados na origem dados por
para
. O raio é
. Exemplos:
;
;
;
.\n\nGráfico (esboço): superfície de revolução em torno do eixo
com perfil radial
. Tem máximo global em
e decai suavemente para
quando
.