Em cada item, elabore as curvas de nível e tente fazer um esboço do gráfico.
f(x, y)=\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x,y)=\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}} e pede duas coisas: (1) elaborar as curvas de nível; (2) fazer um esboço do gráfico (isto é, da superfície no espaço (x,y,z) com z=f(x,y)).\n\nInformações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n\n- A função é \displaystyle f(x,y)=\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}.\n- Precisamos encontrar as curvas de nível (conjunto de pontos (x,y) com o mesmo valor de f).\n- Precisamos também descrever/esboçar o gráfico tridimensional da superfície z=f(x,y).\n\nNenhuma outra informação (figura ou tabela) foi enviada.

Passo 2

O que é uma curva de nível? Vou explicar passo a passo, sem pressa: uma curva de nível para um valor fixo k é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem \displaystyle f(x,y)=k. Na prática, fixamos um número k e resolvemos a equação em x e y; o resultado (se existir) é a curva no plano xy onde a função toma o valor k.\n\nPor isso o procedimento padrão é:\n\n1. Escolher um valor k.\n2. Resolver \displaystyle \frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}=k em termos de x e y.\n3. Interpretar geometricamente o conjunto obtido (reta, círculo, elipse etc.).\n\nAgora aplicamos isso à função dada.

Passo 3

Vamos determinar a curva de nível geral. Começamos fixando um valor \displaystyle k e escrevendo:\n \n\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}=k.\n\nMultiplicando ambos os lados por \displaystyle 1+x^{2}+y^{2} e depois isolando os termos, obtemos:\n \n1 = k\,(1+x^{2}+y^{2})\n\n \n1 = k + k(x^{2}+y^{2})\n\n \n1-k = k(x^{2}+y^{2}).\n\nSe k\neq 0, dividimos por k:\n \nx^{2}+y^{2}=\frac{1-k}{k}.\n\nPortanto, para qualquer k\neq 0 que satisfaça as condições a seguir, a curva de nível é um círculo centrado na origem com raio\n \nr=\sqrt{\frac{1-k}{k}}.\n

Passo 4

Agora precisamos determinar quais valores de \displaystyle k fazem sentido — isto é, o intervalo de valores que f pode assumir (o contradomínio efetivo).\n\nObserve que x^{2}+y^{2}\ge 0 para todos os (x,y), então 1+x^{2}+y^{2}\ge 1. Assim\n \n0<\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}\le 1.\n\nLogo o alcance (imagem) de f é \displaystyle 0<k\le 1.\n\nConsequências:\n\n- Para \displaystyle k=1 temos \displaystyle x^{2}+y^{2}=0, ou seja, apenas o ponto (0,0) (raio r=0).\n- Para \displaystyle 0<k<1 obtemos círculos de raio \displaystyle r=\sqrt{\frac{1-k}{k}}>0.\n- Não existe curva de nível para k\le 0 nem para k>1.\n- Quando k\to 0^{+} temos \displaystyle r\to\infty: as curvas de nível se expandem indefinidamente quando o valor da função se aproxima de zero.

Passo 5

Vamos fazer exemplos concretos (útil para o esboço no plano xy). Escolho alguns valores práticos de k e calculo os raios.\n\n1) \displaystyle k=1:\n \nr=\sqrt{\frac{1-1}{1}}=\sqrt{0}=0.\n\nCurva de nível: apenas o ponto (0,0).\n\n2) \displaystyle k=\tfrac{1}{2}:\n \nr=\sqrt{\frac{1-\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}}=\sqrt{\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}}=\sqrt{1}=1.\n\nCurva de nível: círculo de raio 1 centrado em (0,0).\n\n3) \displaystyle k=\tfrac{1}{5}:\n \nr=\sqrt{\frac{1-\tfrac{1}{5}}{\tfrac{1}{5}}}=\sqrt{\frac{\tfrac{4}{5}}{\tfrac{1}{5}}}=\sqrt{4}=2.\n\nCurva de nível: círculo de raio 2.\n\n4) \displaystyle k=\tfrac{1}{10}:\n \nr=\sqrt{\frac{1-\tfrac{1}{10}}{\tfrac{1}{10}}}=\sqrt{\frac{\tfrac{9}{10}}{\tfrac{1}{10}}}=\sqrt{9}=3.\n\nCurva de nível: círculo de raio 3.\n\nEsses exemplos mostram que valores menores de k correspondem a círculos maiores; valores próximos de 1 concentram-se perto da origem.

Passo 6

Como esboçar as curvas de nível no plano xy:\n\n- Desenhe o ponto (0,0) para k=1.\n- Desenhe círculos concêntricos de raios 1,2,3,\dots correspondendo a k=\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{5},\tfrac{1}{10},\dots.\n- Marque cada círculo com o valor de k correspondente (ou com o raio). Assim fica claro que à medida que nos afastamos da origem o valor de f diminui.\n\nObservação sobre espaçamento: os círculos com pequenos raiox próximos da origem mudam muito o k; conforme r cresce mais, pequenas alterações em k produzem grandes variações em r. Em termos práticos para o esboço, use alguns círculos bem espaçados (por exemplo os exemplos acima) para visualizar a estrutura.

Passo 7

Agora vamos descrever e esboçar o gráfico tridimensional z=f(x,y).\n\n1) Simetria radial: f depende apenas de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, porque \displaystyle f(x,y)=\frac{1}{1+r^{2}}. Logo a superfície é uma superfície de revolução em torno do eixo z.\n\n2) Valor máximo: em (0,0) temos\n \nf(0,0)=\frac{1}{1+0+0}=1.\n\nPortanto o ponto mais alto da superfície é (0,0,1).\n\n3) Comportamento quando r\to\infty:\n \n\lim_{r\to\infty}\frac{1}{1+r^{2}}=0.\n\nLogo a superfície desce assintoticamente para z=0 quando nos afastamos da origem; o plano z=0 é uma assíntota horizontal inferior (a função se aproxima de zero, sem atingir zero).\n\n4) Seção radial (perfil): numa direção qualquer, por exemplo y=0, o perfil é\n \nz=\frac{1}{1+x^{2}}.\n\nEsse gráfico em (x,z) tem um pico em x=0 com z=1 e decai como 1/x^{2} para grandes |x|. Girando esse perfil em torno do eixo z obtemos a superfície completa.\n\n5) Forma visual: pense num “morro” suave, simétrico, com topo pontudo arredondado em z=1 no centro e que vai caindo até perto de z=0 longe do centro — parecido com um pequeno monte, não tão pontudo quanto um cone, mais arredondado (é contínuo e infinitamente diferenciável).

Passo 8

Um pouco de cálculo para entender inclinação e direções:\n\nCalcule as derivadas parciais (úteis para saber direção de subida/descida):\n \nf_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}\right) = -\frac{2x}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}\n\n \nf_y(x,y) = -\frac{2y}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}.\n\nAssim o gradiente é\n \n\displaystyle \nabla f(x,y)=\left(-\frac{2x}{(1+r^{2})^{2}},\; -\frac{2y}{(1+r^{2})^{2}}\right) = -\frac{2}{(1+r^{2})^{2}}(x,y).\n\nIsto mostra:\n\n- O gradiente é radial (paralelo ao vetor (x,y)), mas com sinal negativo: aponta para a origem. Isso faz sentido porque o valor de f diminui quando nos afastamos do centro e aumenta quando nos aproximamos do centro.\n- O gradiente é ortogonal às curvas de nível (propriedade geral: gradiente é perpendicular às curvas de nível), então em cada círculo ele aponta para dentro, em direção ao centro.

Passo 9

Ponto crítico e classificação (útil para a prova):\n\n- O único ponto crítico é (0,0) porque \nabla f(0,0)=(0,0).\n\nPara classificar, examinamos as segundas derivadas em (0,0). Das fórmulas acima, avaliando as segundas derivadas em (0,0) obtém-se\n \nf_{xx}(0,0)=-2,\qquad f_{yy}(0,0)=-2,\qquad f_{xy}(0,0)=0.\n\nA matriz Hessiana em (0,0) tem traço negativo e determinante positiva (pois (-2)(-2)-0=4>0), portanto (0,0) é um máximo local. Como f tende a 0 quando r\to\infty, esse máximo é também o máximo global com valor 1.\n\nNão há mínimos globais alcançados; o ínfimo é 0 mas nunca atingido.

Passo 10

Passos práticos para fazer o esboço na prova (dicas rápidas e eficientes):\n\n1. No plano xy: desenhe círculos concêntricos para alguns valores de k (por exemplo k=1,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{5},\tfrac{1}{10}) usando os raios calculados.\n2. No espaço 3D: marque o ponto (0,0,1) como topo. Em seguida, desenhe perfis ao longo dos eixos x e y com a curva z=\tfrac{1}{1+x^{2}} (para y=0 e x=0 respectivamente).\n3. Rode o perfil em volta do eixo z mentalmente para completar o monte simétrico. Marque que a superfície se aproxima do plano z=0 para grandes |x| e |y|.\n\nRespire fundo: seguindo esses passos você produz um esboço claro e correto em pouco tempo.

Resposta

Curvas de nível: são círculos centrados na origem dados por \displaystyle x^{2}+y^{2}=\frac{1-k}{k} para 0<k\le 1. O raio é \displaystyle r=\sqrt{\frac{1-k}{k}}. Exemplos: k=1\Rightarrow r=0; k=\tfrac{1}{2}\Rightarrow r=1; k=\tfrac{1}{5}\Rightarrow r=2; k=\tfrac{1}{10}\Rightarrow r=3.\n\nGráfico (esboço): superfície de revolução em torno do eixo z com perfil radial \displaystyle z=\frac{1}{1+r^{2}}. Tem máximo global em (0,0,1) e decai suavemente para z\to 0 quando r\to\infty.

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