Use um Polinômio de Taylor de grau 4 ao redor de
para aproximar o valor de sen
. Qual é o erro máximo envolvido nessa aproximação?
Passo 1
O enunciado pede para aproximar sen(0,3) usando o polinômio de Taylor de grau 4 em torno de x₀=0. O conteúdo é série de Taylor (Maclaurin) para sen x e vamos precisar da fórmula do resto de Taylor para estimar o erro máximo.
Passo 2
Recordando que a expansão de Maclaurin de sen x é
Para um polinômio de grau 4, mantemos os termos até x⁴, mas como sen x só tem termos ímpares, isso significa truncar após x³.
Passo 3
Logo, o polinômio de Taylor de grau 4 (na prática grau 3) é
Passo 4
Substituindo x=0,3 obtemos
Passo 5
Para estimar o erro, usamos o termo de resto R₄(x) do Teorema de Taylor:
para algum ξ entre 0 e x. Como f^{(5)}(x)=cos(x) e |cos(ξ)|≤1, temos
Passo 6
Finalmente, para x=0,3,
Assim o erro máximo envolvido é aproximadamente 2,025×10^{-5}.
Resposta
O erro máximo é
.