Use um Polinômio de Taylor de grau 4 ao redor de x0=0 para aproximar o valor de sen (0,3). Qual é o erro máximo envolvido nessa aproximação?

Passo 1

O enunciado pede para aproximar sen(0,3) usando o polinômio de Taylor de grau 4 em torno de x₀=0. O conteúdo é série de Taylor (Maclaurin) para sen x e vamos precisar da fórmula do resto de Taylor para estimar o erro máximo.

Passo 2

Recordando que a expansão de Maclaurin de sen x é
sen(x)=x-x^33!+x^55!-cdots
Para um polinômio de grau 4, mantemos os termos até x⁴, mas como sen x só tem termos ímpares, isso significa truncar após x³.

Passo 3

Logo, o polinômio de Taylor de grau 4 (na prática grau 3) é
P4(x)=x-x^36

Passo 4

Substituindo x=0,3 obtemos
P4(0,3)=0,3-0,3^36=0,3-0,0276=0,3-0,0045=0,2955

Passo 5

Para estimar o erro, usamos o termo de resto R₄(x) do Teorema de Taylor:
R4(x)=f^(5)(xi)5!x^5,
para algum ξ entre 0 e x. Como f^{(5)}(x)=cos(x) e |cos(ξ)|≤1, temos
|R4(x)|≤|x|^55!

Passo 6

Finalmente, para x=0,3,
|R4(0,3)|≤0,3^5120=0,00243120=0,00002025
Assim o erro máximo envolvido é aproximadamente 2,025×10^{-5}.

Resposta

O erro máximo é 2,025times10^-5.

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