Considere dois objetos idênticos inicialmente em equilíbrio térmico à temperatura
. Um refrigerador realiza trabalho
e faz um dos objetos atingir a temperatura
. Considere que os objetos não trocam calor com o meio externo e tudo acontece a pressão constante. Sendo
a capacidade térmica de cada objeto a pressão constante, qual o valor mínimo de W?
Dado: A variação de entropia
a pressão constante entre temperaturas
e
é
.
Dado: A variação de entropia
Passo 1
O enunciado fala de dois objetos idênticos inicialmente a uma mesma temperatura
. Um refrigerador realiza trabalho
para levar um dos objetos a uma temperatura
, sem troca de calor com o ambiente, a pressão constante. Vamos usar calorimetria (
) e a segunda lei (
) para achar o mínimo de
.
Passo 2
Como o sistema é isolado termicamente, todo o calor extra que o objeto quente recebe vem do objeto frio ou do trabalho feito. Se chamarmos
a temperatura final do objeto resfriado, o calor transferido do frio para o quente é
[ Q_{transf} = C_{p},(T_{1} - T_{f}) ]
e a variação de energia interna do objeto que sobe a temperatura é
[ \Delta U_{quente} = C_{p},(T_{2} - T_{1}) ].
[ Q_{transf} = C_{p},(T_{1} - T_{f}) ]
e a variação de energia interna do objeto que sobe a temperatura é
[ \Delta U_{quente} = C_{p},(T_{2} - T_{1}) ].
Passo 3
A energia fornecida por
mais o calor transferido deve equivaler a essa variação, logo
[ W + C_{p},(T_{1} - T_{f}) = C_{p},(T_{2} - T_{1}) ].
[ W + C_{p},(T_{1} - T_{f}) = C_{p},(T_{2} - T_{1}) ].
Passo 4
Para minimizar o trabalho usamos um processo reversível, isto é,
. A entropia do objeto quente muda em
[ \Delta S_{quente} = C_{p}\ln\frac{T_{2}}{T_{1}} ],
e a do objeto frio em
[ \Delta S_{frio} = C_{p}\ln\frac{T_{f}}{T_{1}} ].
[ \Delta S_{quente} = C_{p}\ln\frac{T_{2}}{T_{1}} ],
e a do objeto frio em
[ \Delta S_{frio} = C_{p}\ln\frac{T_{f}}{T_{1}} ].
Passo 5
Igualando
dá
[ C_{p}\ln\frac{T_{2}}{T_{1}} + C_{p}\ln\frac{T_{f}}{T_{1}} = 0 \quad\Rightarrow\quad T_{2},T_{f} = T_{1}^{2} ].
Daí
[ T_{f} = \frac{T_{1}^{2}}{T_{2}} ].
[ C_{p}\ln\frac{T_{2}}{T_{1}} + C_{p}\ln\frac{T_{f}}{T_{1}} = 0 \quad\Rightarrow\quad T_{2},T_{f} = T_{1}^{2} ].
Daí
[ T_{f} = \frac{T_{1}^{2}}{T_{2}} ].
Passo 6
Substituindo
na equação de energia:
[ W = C_{p}\bigl(T_{2} - T_{1}\bigr) - C_{p}\bigl(T_{1} - T_{f}\bigr) = C_{p}\Bigl(T_{2} + T_{f} - 2T_{1}\Bigr) ],
e então
[ W_{min} = C_{p}\Bigl(T_{2} + \frac{T_{1}^{2}}{T_{2}} - 2T_{1}\Bigr) = C_{p}\frac{(T_{2}-T_{1})^{2}}{T_{2}} ].
[ W = C_{p}\bigl(T_{2} - T_{1}\bigr) - C_{p}\bigl(T_{1} - T_{f}\bigr) = C_{p}\Bigl(T_{2} + T_{f} - 2T_{1}\Bigr) ],
e então
[ W_{min} = C_{p}\Bigl(T_{2} + \frac{T_{1}^{2}}{T_{2}} - 2T_{1}\Bigr) = C_{p}\frac{(T_{2}-T_{1})^{2}}{T_{2}} ].