Use o polinômio de Taylor de ordem 3 da função f(x)=\ln (1+x) em torno de x=0 para aproximar \ln (1,1) e estime o erro.

Passo 1

O enunciado pede que eu use o polinômio de Taylor de ordem 3 da função f(x)=\ln(1+x) em torno de x=0 para aproximar \ln(1,1) (interpreto aqui \ln(1,1) como \ln(1{,}1), ou seja \ln(1{,}1)=\ln(1+0{,}1)) e que eu estime o erro dessa aproximação.
Informações dadas:
f(x)=\ln(1+x),\qquad\text{ponto de expansão } x_0=0,\qquad\text{orde } n=3,\qquad\text{valor a aproximar } x=0{,}1.ã

Passo 2

Relembre: o polinômio de Taylor de ordem n de f em torno de 0 (Maclaurin) é
T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k,
onde f^{(k)}(0) é a k-ésima derivada de f avaliada em 0. Vou calcular as derivadas de f(x)=\ln(1+x) e avaliá‑las em 0.
Derivadas:
f'(x)=\frac{1}{1+x},\qquad f''(x)=-\frac{1}{(1+x)^2},\qquad f^{(3)}(x)=\frac{2}{(1+x)^3},\qquad f^{(4)}(x)=-\frac{6}{(1+x)^4}.
Avaliações em 0:
f(0)=\ln 1=0,\qquad f'(0)=1,\qquad f''(0)=-1,\qquad f^{(3)}(0)=2.
Expliquei cada passo: para obter f' derivei \ln(1+x) usando a regra da cadeia; para ordens superiores usei derivação sucessiva, cada derivada tem fator (1+x) na potência.

Passo 3

Agora monto o polinômio de Taylor de ordem 3 usando a fórmula:
T_3(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3.
Substituindo as derivadas avaliadas em 0:
T_3(x)=0+\frac{1}{1!}x+\frac{-1}{2!}x^2+\frac{2}{3!}x^3
T_3(x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3.
Aqui eu mostrei como cada coeficiente vem de f^{(k)}(0)/k!: por exemplo o coeficiente de x^2 é -1/2!.

Passo 4

Aproximo \ln(1{,}1)=\ln(1+0{,}1) substituindo x=0{,}1 em T_3:
T_3(0{,}1)=0{,}1-\frac{1}{2}(0{,}1)^2+\frac{1}{3}(0{,}1)^3.
Calculo passo a passo (tudo sem calculadora, só multiplicações e potências simples):
(0{,}1)^2=0{,}01,\qquad (0{,}1)^3=0{,}001.
Substituindo:
T_3(0{,}1)=0{,}1-\frac{1}{2}\cdot 0{,}01+\frac{1}{3}\cdot 0{,}001
T_3(0{,}1)=0{,}1-0{,}005+0{,}000\overline{3}
T_3(0{,}1)=0{,}095333\ldots
Ou seja \ln(1{,}1) é aproximado por \,0{,}095333\ldots pelo polinômio de ordem 3.

Passo 5

Agora estimo o erro. Uso a forma do resto de Lagrange: existe \xi entre 0 e x tal que
R_3(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}x^4.
Isto significa que o erro exato é dado por essa expressão para algum \xi entre 0 e 0{,}1. Para obter uma estimativa útil trabalho com a desigualdade de módulo:
|R_3(x)|\le \frac{\max_{t\in[0,x]}|f^{(4)}(t)|}{4!}|x|^4.
Explico: não sabemos \xi exatamente, mas podemos encontrar um limite superior para |f^{(4)}(t)| no intervalo entre 0 e x e assim ter uma cota segura para o erro.

Passo 6

Calculo a cota: já encontrei f^{(4)}(t)=-\dfrac{6}{(1+t)^4}, portanto
|f^{(4)}(t)|=\frac{6}{(1+t)^4}.
Para t\in[0,0{,}1] temos 1+t\ge 1, então (1+t)^4\ge 1^4=1, logo
\max_{t\in[0,0{,}1]}|f^{(4)}(t)|\le 6.
Assim a cota do resto em x=0{,}1 é
|R_3(0{,}1)|\le \frac{6}{4!}(0{,}1)^4.
Calculo numérico:
4!=24,\qquad (0{,}1)^4=0{,}0001,
|R_3(0{,}1)|\le \frac{6\cdot 0{,}0001}{24}=\frac{0{,}0006}{24}=0{,}000025.
Em notação científica: |R_3(0{,}1)|\le 2{,}5\times 10^{-5}. Isso significa que a aproximação pelo polinômio de ordem 3 erra por no máximo 2{,}5\times 10^{-5}.

Passo 7

Verificação rápida (opcional): o valor verdadeiro é \ln(1{,}1)\approx 0{,}0953101798 (obtido por calculadora), e o polinômio deu 0{,}095333\ldots, a diferença absoluta real é cerca de 2{,}31\times 10^{-5}, que é menor que a cota 2{,}5\times 10^{-5} que encontramos — perfeito, a cota funciona. Não é necessário saber o valor exato para usar a cota na prova; mostrei só para confirmar que a estimativa é consistente.

Resposta

\ln(1{,}1)\approx 0{,}095333\ldots
|\text{erro}|\le 2{,}5\times 10^{-5}

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