Use o polinômio de Taylor de ordem 3 da função
em torno de
para aproximar
e estime o erro.
Passo 1
O enunciado pede que eu use o polinômio de Taylor de ordem 3 da função
em torno de
para aproximar
(interpreto aqui
como
, ou seja
) e que eu estime o erro dessa aproximação.
Informações dadas:
Informações dadas:
Passo 2
Relembre: o polinômio de Taylor de ordem
de
em torno de
(Maclaurin) é
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
. Vou calcular as derivadas de
e avaliá‑las em
.
Derivadas:
Derivadas:
Avaliações em
:
Expliquei cada passo: para obter
derivei
usando a regra da cadeia; para ordens superiores usei derivação sucessiva, cada derivada tem fator
na potência.
Passo 3
Agora monto o polinômio de Taylor de ordem
usando a fórmula:
Substituindo as derivadas avaliadas em
:
Aqui eu mostrei como cada coeficiente vem de
: por exemplo o coeficiente de
é
.
Passo 4
Aproximo
substituindo
em
:
Calculo passo a passo (tudo sem calculadora, só multiplicações e potências simples):
Substituindo:
Ou seja
é aproximado por
pelo polinômio de ordem 3.
Passo 5
Agora estimo o erro. Uso a forma do resto de Lagrange: existe
entre
e
tal que
Isto significa que o erro exato é dado por essa expressão para algum
entre
e
. Para obter uma estimativa útil trabalho com a desigualdade de módulo:
Explico: não sabemos
exatamente, mas podemos encontrar um limite superior para
no intervalo entre
e
e assim ter uma cota segura para o erro.
Passo 6
Calculo a cota: já encontrei
, portanto
Para
temos
, então
, logo
Assim a cota do resto em
é
Calculo numérico:
Em notação científica:
. Isso significa que a aproximação pelo polinômio de ordem 3 erra por no máximo
.
Passo 7
Verificação rápida (opcional): o valor verdadeiro é
(obtido por calculadora), e o polinômio deu
, a diferença absoluta real é cerca de
, que é menor que a cota
que encontramos — perfeito, a cota funciona. Não é necessário saber o valor exato para usar a cota na prova; mostrei só para confirmar que a estimativa é consistente.