Nos problemas a seguir, encontre a solução dos problemas de valor inicial.
ly^prime prime+2 y^prime+y=0 y(0)=1, y^prime(0)=-3

Passo 1

Estamos lidando com um problema de valor inicial de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: y'' + 2y' + y = 0, com condições y(0)=1 e y'(0)=-3. Vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, montamos o polinômio característico substituindo ysim e^rt. Aqui temos
r^2 + 2r + 1 = 0

Passo 3

Esse polinômio fatoriza como (r+1)^2=0, logo há raiz dupla r=-1.

Passo 4

Quando a raiz r é de multiplicidade 2, a solução geral é da forma
y(t) = C1 e^-t + C2 ,t ,e^-t

Passo 5

Precisamos determinar C1 e C2 usando as condições iniciais. Primeiro calculamos y'(t):
y'(t) = -C1 e^-t + C2 e^-t - C2 t e^-t = e^-tl(-C1 + C2(1 - t)r)

Passo 6

Agora aplicamos t=0. De y(0)=1 vem
y(0) = C1 = 1

Passo 7

E de y'(0)=-3 temos
y'(0) = -C1 + C2 = -1 + C2 = -3 implies C2 = -2

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(t) = e^-t(1 - 2t)

Exercícios relacionados