Nos problemas a seguir, encontre a solução dos problemas de valor inicial.
Passo 1
Estamos lidando com um problema de valor inicial de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: y'' + 2y' + y = 0, com condições y(0)=1 e y'(0)=-3. Vamos usar o método do polinômio característico.
Passo 2
Para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, montamos o polinômio característico substituindo ysim e^rt. Aqui temos
r^2 + 2r + 1 = 0
Passo 3
Esse polinômio fatoriza como (r+1)^2=0, logo há raiz dupla r=-1.
Passo 4
Quando a raiz r é de multiplicidade 2, a solução geral é da forma
y(t) = C1 e^-t + C2 ,t ,e^-t
Passo 5
Precisamos determinar C1 e C2 usando as condições iniciais. Primeiro calculamos y'(t):