(Variação dos Parâmetros) Use o método de Variação dos Parâmetros para obter a solução geral das equações e, quando for o caso, obter a solução dos problemas de valores inicial.
\left{ ly^prime prime+y=sec t, y(0)=1, y^prime(0)=-2,\right.)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial y^primeprime+y=sec t,;y(0)=1,;y'(0)=-2 usando o método de Variação dos Parâmetros. O conteúdo é EDO linear de 2ª ordem não homogênea, e vamos precisar da solução geral da homogênea e depois aplicar Variação dos Parâmetros para achar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada y''+y=0. As raízes da equação característica r^2+1=0 são r=pm i, então a solução homogênea é yh(t)=C1cos t+C2sin t

Passo 3

Para aplicar Variação dos Parâmetros, escolhemos as soluções fundamentais y1=cos t e y2=sin t. Calculamos o Wronskiano: W(t)=cos t & sin t -sin t & cos t=cos^2t+sin^2t=1

Passo 4

As fórmulas de Variação dos Parâmetros dizem que definimos funções u1'(t) e u2'(t) por
u1'=-y2,g(t)W= -sin tcdotsec t = -tan t,
u2'=y1,g(t)W= cos tcdotsec t =1,
onde g(t)=sec t é o termo não homogêneo.

Passo 5

Agora, integramos para obter u1 e u2:
u1(t)=integral -tan t,dt=integral -sin tcos t,dt=ln|cos t|,
u2(t)=integral 1,dt=t

Passo 6

A solução particular é dada por
yp(t)=u1(t)y1(t)+u2(t)y2(t)=ln|cos t|cdotcos t + tsin t

Passo 7

Assim, a solução geral da equação não homogênea é
y(t)=yh(t)+yp(t)=C1cos t+C2sin t+cos tln|cos t|+tsin t

Passo 8

Para determinar C1 e C2, aplicamos as condições iniciais. Em t=0:
y(0)=C1cdot1+C2cdot0+1cdotln1+0= C1=1
Calculamos y'(t):
y'(t)=-C1sin t+C2cos t -sin t(ln|cos t|+1) + sin t + tcos t
Em t=0:
y'(0)=0 + C2cdot1 -0 +0+0 =C2=-2

Resposta

A solução do PVI é
y(t)=cos t -2sin t+cos tln(cos t)+tsin t, -tfracpi2

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