Use, se possível, a Regra de L’Hospital para calcular os limites abaixo:
lim x 0^+ e^x ln x

Passo 1

Estamos vendo o limite limxto0^+ e^xln x. O conteúdo é limite de funções exponenciais e indeterminação do tipo 0cdot(-infty), e vamos usar a propriedade de limites para exponencial e a Regra de L’Hospital.

Passo 2

Como a função e^u é contínua, podemos passar o limite para o expoente:
limxto0^+ e^xln x = e^limxto0^+ xln x
Agora focamos em limxto0^+ xln x, que dá a indeterminação 0cdot(-infty).

Passo 3

Para aplicar L’Hospital, reescrevemos o produto como razão:
xln x = ln x1/x,
então temos -infty/infty. Derivando numerador e denominador:
numerador: (ln x)' = 1/x,
denominador: (1/x)' = -1/x^2
Logo
limxto0^+ xln x = limxto0^+ 1/x-1/x^2 = limxto0^+ -x = 0

Passo 4

Achamos que limxto0^+ xln x = 0. Voltando ao exponencial,
limxto0^+ e^xln x = e^0 = 1

Resposta

1

Exercícios relacionados