Use, se possível, a Regra de L’Hospital para calcular os limites abaixo:
lim x 0 sin ^2 x+sin (2 x)3 x

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite
limxto0sin^2x+sin(2x)3x
Usaremos a Regra de L’Hospital, que trata limites na forma indeterminada 0/0 ou ∞/∞, derivando numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, cheque a forma do limite. Quando xto0:
sin^2xto0, sin(2x)to0, 3xto0
Logo estamos em 0/0, então podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Aplique L’Hospital derivando numerador e denominador:
Derivada do numerador:
ddxl(sin^2x+sin(2x)r)=2sin xcos x+2cos(2x)
Derivada do denominador:
ddx(3x)=3

Passo 4

O limite original passa a ser
limxto02sin xcos x+2cos(2x)3
Agora substitua x=0: sin0=0, cos0=1, cos(2cdot0)=1. Assim o numerador fica 2cdot0cdot1+2cdot1=2 e o denominador é 3.

Resposta

tfrac23

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