Use o primeiro princípio da indução para provar: O produto de 3 inteiros positivos consecutivos qualquer é divisível por 3.
Passo 1
Vamos provar por indução em
a propriedade
isto é, o produto de três inteiros positivos consecutivos é múltiplo de 3.
Passo 2
Base da indução: para
temos
e
é divisível por
. Logo,
é verdadeira.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que
seja verdadeira para algum
, ou seja,
Precisamos mostrar que
também vale, isto é,
Observe que
Pela hipótese de indução,
. Além disso,
trivialmente. Como a soma de dois múltiplos de 3 é múltiplo de 3, concluímos que
ou seja,
é verdadeira.
Passo 4
Pela base e pelo passo indutivo,
vale para todo
. Portanto, o produto de três inteiros positivos consecutivos é sempre divisível por 3.
Resposta
O enunciado está provado por indução: para todo
,
.