Use o primeiro princípio da indução para provar: O produto de 3 inteiros positivos consecutivos qualquer é divisível por 3.

Passo 1

Vamos provar por indução em n\ge1 a propriedade
P(n):\;3\mid n(n+1)(n+2),
isto é, o produto de três inteiros positivos consecutivos é múltiplo de 3.

Passo 2

Base da indução: para n=1 temos
1\cdot2\cdot3 = 6,
e 6 é divisível por 3. Logo, P(1) é verdadeira.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que P(k) seja verdadeira para algum k\ge1, ou seja,
3\mid k(k+1)(k+2).
Precisamos mostrar que P(k+1) também vale, isto é,
3\mid (k+1)(k+2)(k+3).
Observe que
(k+1)(k+2)(k+3) = k(k+1)(k+2) \;+\; 3\,(k+1)(k+2).
Pela hipótese de indução, 3\mid k(k+1)(k+2). Além disso, 3\mid 3\,(k+1)(k+2) trivialmente. Como a soma de dois múltiplos de 3 é múltiplo de 3, concluímos que
3\mid (k+1)(k+2)(k+3),
ou seja, P(k+1) é verdadeira.

Passo 4

Pela base e pelo passo indutivo, P(n) vale para todo n\ge1. Portanto, o produto de três inteiros positivos consecutivos é sempre divisível por 3.

Resposta

O enunciado está provado por indução: para todo n\ge1, 3\mid n(n+1)(n+2).

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