Use o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada das seguintes funções:
g(x)=\int_{\cos (x)}^{1}(t+\sin (t)) d t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
g(x)=\int_{\cos(x)}^{1}\bigl(t+\sin(t)\bigr)\,dt.
Informações dadas:
  • A integranda é \,t+\sin(t)\,.
  • O limite superior da integral é a constante \,1\,.
  • O limite inferior da integral é a função \,\cos(x)\,.
  • A variável independente é x.
    O que se pede: calcular g'(x), a derivada de g em relação a x.

Passo 2

Vamos lembrar um resultado fundamental (explicado de forma direta): se f é contínua e definimos
G(u)=\int_{a}^{u} f(t)\,dt,
então, segundo o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo,
G'(u)=f(u).
O que isso significa na prática: a derivada da função que dá a área acumulada até o ponto u é exatamente a altura da função f no ponto u. Aqui cada símbolo significa:
  • f(t) é a função que estamos integrando (variável de integração t).
  • G(u) é a área acumulada desde t=a até t=u.
  • G'(u) é a derivada dessa área em relação a u, que vale f(u).

Passo 3

Agora precisamos lidar com o caso em que o limite da integral depende de x. Se definimos uma função composta
H(x)=\int_{a}^{u(x)} f(t)\,dt,
então podemos ver H como H(x)=G\bigl(u(x)\bigr) com G do passo anterior. Aplicando a regra da cadeia:
H'(x)=G'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)=f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Interpretação: quando o limite superior é uma função u(x), a derivada pega o valor da integranda em t=u(x) multiplicado por u'(x).

Passo 4

Generalizando para o caso em que ambos os limites dependem de x, se
J(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt,
podemos escrever J(x)=F\bigl(b(x)\bigr)-F\bigl(a(x)\bigr) onde F é uma antiderivada de f (ou usar a ideia do passo anterior para cada limite). Derivando e aplicando a regra da cadeia obtemos a fórmula prática muito usada:
\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = f\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x) - f\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).
Cada termo tem sentido: o termo f(b(x))b'(x) vem do limite superior variável e o termo subtraído f(a(x))a'(x) vem do limite inferior variável.

Passo 5

Aplicando a fórmula do passo anterior ao nosso g(x):
  • Identificamos f(t)=t+\sin(t).
  • O limite superior é b(x)=1, então b'(x)=0.
  • O limite inferior é a(x)=\cos(x), então
a'(x)=\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
Pela fórmula:
g'(x)=f\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)-f\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).
Substituindo b'(x)=0 e a'(x)=-\sin(x):
g'(x)=0 - f\bigl(\cos(x)\bigr)\cdot\bigl(-\sin(x)\bigr)=f\bigl(\cos(x)\bigr)\,\sin(x).
Agora substituímos f(t)=t+\sin(t) com t=\cos(x):
f\bigl(\cos(x)\bigr)=\cos(x)+\sin\bigl(\cos(x)\bigr).
Portanto
g'(x)=\bigl(\cos(x)+\sin(\cos(x))\bigr)\,\sin(x).

Passo 6

(verificação curta e reconfortante) Podemos também verificar fazendo a integral explícita porque \int (t+\sin t)\,dt=\tfrac{t^{2}}{2}-\cos t + C. Assim
g(x)=\Bigl[\tfrac{t^{2}}{2}-\cos t\Bigr]_{t=\cos(x)}^{t=1} =\Bigl(\tfrac{1^{2}}{2}-\cos 1\Bigr)-\Bigl(\tfrac{\cos^{2}x}{2}-\cos(\cos x)\Bigr).
Derivando esta expressão em x obtém-se novamente
g'(x)=\bigl(\cos(x)+\sin(\cos(x))\bigr)\,\sin(x),
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\,g'(x)=\bigl(\cos(x)+\sin(\cos(x))\bigr)\sin(x)

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