Use o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
Informações dadas:
- A integranda é
. - O limite superior da integral é a constante
. - O limite inferior da integral é a função
. - A variável independente é
.
O que se pede: calcular, a derivada de em relação a .
Passo 2
Vamos lembrar um resultado fundamental (explicado de forma direta): se
é contínua e definimos
então, segundo o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo,
O que isso significa na prática: a derivada da função que dá a área acumulada até o ponto
é exatamente a altura da função
no ponto
. Aqui cada símbolo significa:
-
é a função que estamos integrando (variável de integração ). -
é a área acumulada desde até . -
é a derivada dessa área em relação a , que vale .
Passo 3
Agora precisamos lidar com o caso em que o limite da integral depende de
. Se definimos uma função composta
então podemos ver
como
com
do passo anterior. Aplicando a regra da cadeia:
Interpretação: quando o limite superior é uma função
, a derivada pega o valor da integranda em
multiplicado por
.
Passo 4
Generalizando para o caso em que ambos os limites dependem de
, se
podemos escrever
onde
é uma antiderivada de
(ou usar a ideia do passo anterior para cada limite). Derivando e aplicando a regra da cadeia obtemos a fórmula prática muito usada:
Cada termo tem sentido: o termo
vem do limite superior variável e o termo subtraído
vem do limite inferior variável.
Passo 5
Aplicando a fórmula do passo anterior ao nosso
:
- Identificamos
. - O limite superior é
, então . - O limite inferior é
, então
Pela fórmula:
Substituindo
e
:
Agora substituímos
com
:
Portanto
Passo 6
(verificação curta e reconfortante) Podemos também verificar fazendo a integral explícita porque
. Assim
Derivando esta expressão em
obtém-se novamente
confirmando o resultado anterior.