Use o Primeiro Teorema da Translação (eixo s ) para encontrar F(s) ou f(t), conforme indicado. Explique como usou o teorema.
\mathcal{L}\left\{t^{3} e^{-2 t}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de \,t^{3}e^{-2t} usando o Primeiro Teorema da Translação no eixo s. Vamos precisar lembrar da transformada de Laplace de t^{n} e do enunciado do teorema de translação.

Passo 2

Recordamos que
\mathcal{L}\{t^{3}\}(s)=\int_{0}^{\infty}t^{3}e^{-st}\,dt=\frac{3!}{s^{4}}=\frac{6}{s^{4}}.

Passo 3

O Primeiro Teorema da Translação em s diz que, se
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s),
então
\mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\}(s)=F(s+a).

Passo 4

No nosso caso temos f(t)=t^{3} e a=2. Logo, aplicando o teorema,
\mathcal{L}\{t^{3}e^{-2t}\}(s) = \Bigl(\mathcal{L}\{t^{3}\}\Bigr)\bigl(s+2\bigr) = \frac{6}{(s+2)^{4}}.

Resposta

\mathcal{L}\{t^{3}e^{-2t}\}(s)=\frac{6}{(s+2)^{4}}.

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