Use o Primeiro Teorema da Translação (eixo s ) para encontrar F(s) ou f(t), conforme indicado. Explique como usou o teorema.
\mathcal{L}\left\{e^{t} \operatorname{sen} 3 t\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace
\mathcal{L}\{e^{t}\sin(3t)\}
usando o Primeiro Teorema da Translação no eixo s. O conteúdo envolvido é a transformada de Laplace de funções exponenciais multiplicadas por outras funções, e o que precisamos é da transformada base de \sin(3t) e da forma como a exponencial desloca o argumento em s.

Passo 2

Calculemos primeiro a transformada de Laplace de
\sin(3t). Pela definição ou tabela padrão, temos
\mathcal{L}\{\sin(3t)\} =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(3t)\,dt =\frac{3}{s^{2}+9}.

Passo 3

Enunciamos o Primeiro Teorema da Translação no eixo s:
seja f(t) com \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s). Então, para qualquer constante a,
\mathcal{L}\{e^{a\,t}f(t)\} =F(s-a).

Passo 4

No nosso caso, f(t)=\sin(3t) tem F(s)=3/(s^{2}+9) e escolhemos a=1. Aplicando o teorema:
\mathcal{L}\{e^{t}\sin(3t)\} =F(s-1) =\frac{3}{(s-1)^{2}+9}.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{t}\sin(3t)\} =\frac{3}{(s-1)^{2}+9}.

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