Use o Primeiro Teorema da Translação (eixo s ) para encontrar F(s) ou f(t), conforme indicado. Explique como usou o teorema.
\mathcal{L}\left\{e^{2 t}(t-1)^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\mathcal{L}\{e^{2t}(t-1)^{2}\}
usando o Primeiro Teorema da Translação no eixo s, que diz: se
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\},
então
\mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}=F(s-a).

Passo 2

Identificamos em nosso caso
f(t)=(t-1)^{2} \quad\text{e}\quad a=2.
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\mathcal{L}\{e^{2t}(t-1)^{2}\} =F(s-2),
onde
F(s)=\mathcal{L}\{(t-1)^{2}\}.

Passo 3

Para achar F(s), expandimos
(t-1)^{2}=t^{2}-2t+1.
Usamos as fórmulas básicas
\mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{2}{s^{3}},\quad \mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}},\quad \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},
portanto
F(s) =\mathcal{L}\{t^{2}\}-2\,\mathcal{L}\{t\}+\mathcal{L}\{1\} =\frac{2}{s^{3}}-\frac{2}{s^{2}}+\frac{1}{s}.

Passo 4

Aplicando o deslocamento em s, substituímos s por s-2 em F(s):
\mathcal{L}\{e^{2t}(t-1)^{2}\} =F(s-2) =\frac{2}{(s-2)^{3}}-\frac{2}{(s-2)^{2}}+\frac{1}{s-2}.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{2t}(t-1)^{2}\} =\frac{2}{(s-2)^{3}}-\frac{2}{(s-2)^{2}}+\frac{1}{s-2}.

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