Se 0<a<b<c, Justifique, através de áreas, que:
\int_{a}^{c}|x-b| d x=\frac{(b-a)^{2}+(c-b)^{2}}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{a}^{c}|x-b|\,dx
sabendo que 0<a<b<c, interpretando essa integral como área sob a curva y=|x-b|. Vamos usar a definição de valor absoluto em duas partes e interpretar cada integral como a área de um triângulo.

Passo 2

Como
|x-b| = \begin{cases} b - x, & x\in[a,b],\\\ x - b, & x\in[b,c], \end{cases}
temos
\int_{a}^{c}|x-b|\,dx =\int_{a}^{b}(b-x)\,dx \;+\;\int_{b}^{c}(x-b)\,dx.

Passo 3

No intervalo [a,b], o gráfico de y=b-x é uma reta decrescente que forma um triângulo com base (b-a) e altura no ponto x=a igual a
b - a.
Logo,
\int_{a}^{b}(b-x)\,dx =\text{área do triângulo} =\frac{(b-a)\,(b-a)}{2} =\frac{(b-a)^{2}}{2}.áâ

Passo 4

No intervalo [b,c], o gráfico de y=x-b é uma reta crescente que forma um triângulo com base (c-b) e altura no ponto x=c igual a
c - b.
Logo,
\int_{b}^{c}(x-b)\,dx =\text{área do triângulo} =\frac{(c-b)\,(c-b)}{2} =\frac{(c-b)^{2}}{2}.áâ

Passo 5

Somando as duas áreas triangulars, obtemos
\int_{a}^{c}|x-b|\,dx =\frac{(b-a)^{2}}{2}+\frac{(c-b)^{2}}{2} =\frac{(b-a)^{2}+(c-b)^{2}}{2}.

Resposta

\int_{a}^{c}|x-b|\,dx =\frac{(b-a)^{2}+(c-b)^{2}}{2}.

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