Use o princípio da indução matemática para provar as desigualdades:
, para todo
Passo 1
O enunciado pede para provar por indução matemática que
para todo
.
Aqui o conteúdo é o princípio de indução em inteiros e usaremos a notação .
Aqui o conteúdo é o princípio de indução em inteiros e usaremos a notação
Passo 2
Verificação da base
:
Calculamos e
.
Como , a desigualdade vale para
.
Calculamos
Como
Passo 3
Passo indutivo, primeira parte.
Suponha que para algum valha a hipótese de indução
Suponha que para algum
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Passo 4
Passo indutivo, segunda parte.
Para temos
Para
logo
. Assim
Combinando com o resultado do passo anterior segue
,
ou seja, a desigualdade vale também para .
Combinando com o resultado do passo anterior segue
ou seja, a desigualdade vale também para
Resposta
Portanto, por indução matemática,
para todo
.