Use o princípio da indução matemática para provar as desigualdades:
n^2<prodj=1^n j, para todo n >= 4

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução matemática que
n^2 < prodj=1^nj para todo n>=4.
Aqui o conteúdo é o princípio de indução em inteiros e usaremos a notação n! = prodj=1^nj.

Passo 2

Verificação da base n=4:
Calculamos 4^2=16 e 4!=24.
Como 16<24, a desigualdade vale para n=4.

Passo 3

Passo indutivo, primeira parte.
Suponha que para algum n>=4 valha a hipótese de indução
n^2 < n!
Multiplicando ambos os lados por n+1, obtemos
(n+1)! = (n+1),n! > (n+1),n^2

Passo 4

Passo indutivo, segunda parte.
Para n>=4 temos
n^2 - (n+1) = n(n-1)-1 >= 4cdot3 -1 =11 >0,
logo n^2>= n+1. Assim
(n+1),n^2 >= (n+1)^2
Combinando com o resultado do passo anterior segue
(n+1)! > (n+1)^2,
ou seja, a desigualdade vale também para n+1.

Resposta

Portanto, por indução matemática, n^2 < prodj=1^nj para todo n>=4.

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