Use o princípio da indução matemática para provar as desigualdades:
sumk=1^n 1k^2 <= 2-1n, para todo inteiro positivo n

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando o princípio da indução matemática, que para todo inteiro positivo n vale
sumk=1^n1k^2;<=;2-1n
O conteúdo aqui é: demonstração por indução, que envolve mostrar o caso base e o passo indutivo.

Passo 2

(Caso base) Para n=1 temos
sumk=1^11k^2=11^2=1
e
2-11=2-1=1
Logo
sumk=1^11k^2=1=2-11,
ou seja, a desigualdade é satisfeita em n=1.

Passo 3

(Hipótese de indução) Suponha que para algum inteiro n>=1 já seja verdade que
sumk=1^n1k^2<=2-1n

Passo 4

(Passo indutivo) Precisa-se mostrar que
sumk=1^n+11k^2<=2-1n+1
Começamos escrevendo
sumk=1^n+11k^2 =sumk=1^n1k^2+1(n+1)^2 ;<=;l(2-1nr)+1(n+1)^2,
onde usamos a hipótese de indução. Resta verificar que
2-1n+1(n+1)^2;<=;2-1n+1
Subtraindo 2 de ambos os lados e multiplicando por -1 (invertendo a desigualdade), obtemos a condição equivalente
1(n+1)^2;<=;1n-1n+1 =(n+1)-nn(n+1) =1n(n+1)
Multiplicando por n(n+1)^2>0 essa desigualdade vira
n,l(n+1r);<=;(n+1)^2,
isto é
n<= n+1,
o que é óbvio para todo n>=1. Logo o passo indutivo está completo.

Passo 5

Pelo princípio da indução matemática, a desigualdade
sumk=1^n1k^2<=2-1n
vale para todo inteiro positivo n.

Resposta

A desigualdade foi provada para todo ninN por indução.

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