Use o princípio da indução matemática para provar as desigualdades:
, para todo inteiro positivo
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando o princípio da indução matemática, que para todo inteiro positivo
vale
O conteúdo aqui é: demonstração por indução, que envolve mostrar o caso base e o passo indutivo.
Passo 2
(Caso base) Para
temos
e
Logo
ou seja, a desigualdade é satisfeita em
.
Passo 3
(Hipótese de indução) Suponha que para algum inteiro
já seja verdade que
Passo 4
(Passo indutivo) Precisa-se mostrar que
Começamos escrevendo
onde usamos a hipótese de indução. Resta verificar que
Subtraindo 2 de ambos os lados e multiplicando por
(invertendo a desigualdade), obtemos a condição equivalente
Multiplicando por
essa desigualdade vira
isto é
o que é óbvio para todo
. Logo o passo indutivo está completo.
Passo 5
Pelo princípio da indução matemática, a desigualdade
vale para todo inteiro positivo
.
Resposta
A desigualdade foi provada para todo
por indução.