Use o príncípio da indução matemática para provar as seguintes identidades:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por indução matemática, que para todo inteiro
vale
Aqui o conteúdo é prova por indução: primeiro comprovamos o caso base, depois assumimos que a fórmula vale para
e mostramos que daí decorre que vale para
.
Passo 2
Caso base
.
O lado esquerdo é
O lado esquerdo é
O lado direito é
Portanto, para
ambos os lados são iguais a
, e o caso base está confirmado.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que, para algum
, valha
Passo 4
Passo indutivo. Vamos mostrar que a fórmula vale para
. Escrevemos
Pelo passo anterior, substituímos a soma até
:
Agora colocamos tudo sobre o mesmo denominador e simplificamos:
Dentro do colchete temos
Logo
que é exatamente a fórmula com
.
Passo 5
Pelo princípio da indução, como o caso base vale e o passo indutivo foi provado, concluímos que para todo inteiro
Resposta
A identidade foi provada: