Use o príncípio da indução matemática para provar as seguintes identidades:
sumj=1^n(2 j-1)^2=n(2 n-1)(2 n+1)3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por indução matemática, que para todo inteiro n>=1 vale
sumj=1^n(2j-1)^2 ;=;n(2n-1)(2n+1)3
Aqui o conteúdo é prova por indução: primeiro comprovamos o caso base, depois assumimos que a fórmula vale para n=k e mostramos que daí decorre que vale para n=k+1.

Passo 2

Caso base n=1.
O lado esquerdo é
sumj=1^1(2j-1)^2 = (2cdot1-1)^2 = 1^2 = 1
O lado direito é
1,(2cdot1-1),(2cdot1+1)3 = 1cdot1cdot33 = 1
Portanto, para n=1 ambos os lados são iguais a 1, e o caso base está confirmado.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que, para algum k>=1, valha
sumj=1^k(2j-1)^2 = k(2k-1)(2k+1)3

Passo 4

Passo indutivo. Vamos mostrar que a fórmula vale para n=k+1. Escrevemos
sumj=1^k+1(2j-1)^2 = sumj=1^k(2j-1)^2 ;+;(2(k+1)-1)^2
Pelo passo anterior, substituímos a soma até k:
sumj=1^k+1(2j-1)^2 = k(2k-1)(2k+1)3 ;+;(2k+1)^2
Agora colocamos tudo sobre o mesmo denominador e simplificamos:
k(2k-1)(2k+1)3 + 3,(2k+1)^23 = (2k+1)l[k(2k-1)+3(2k+1)r]3
Dentro do colchete temos
k(2k-1)+3(2k+1) =2k^2-k+6k+3 =2k^2+5k+3 =(k+1)(2k+3)
Logo
sumj=1^k+1(2j-1)^2 = (2k+1),(k+1),(2k+3)3 = (k+1)l[2(k+1)-1r]l[2(k+1)+1r]3,
que é exatamente a fórmula com n=k+1.

Passo 5

Pelo princípio da indução, como o caso base vale e o passo indutivo foi provado, concluímos que para todo inteiro n>=1
sumj=1^n(2j-1)^2 = n(2n-1)(2n+1)3

Resposta

A identidade foi provada:
sumj=1^n(2j-1)^2 = n(2n-1)(2n+1)3

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