Use o príncípio da indução matemática para provar as seguintes identidades:
prodk=1^n(1+1k)=n+1

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando o princípio da indução matemática, que para todo inteiro n>=1 vale
prodk=1^n!l(1+1kr)=n+1
O que precisamos é:
  1. Verificar o caso base n=1.
  2. Assumir que a fórmula vale para um certo n (hipótese de indução).
  3. Mostrar que daí segue para n+1.

Passo 2

Caso base n=1.
A expressão à esquerda fica
prodk=1^1!l(1+1kr)=1+11=2,
e à direita temos n+1=1+1=2. Logo a igualdade é verdadeira para n=1.

Passo 3

Passo indutivo.
Suponha que para algum n>=1 já seja válida a igualdade
prodk=1^n!l(1+1kr)=n+1
Então, para n+1 podemos escrever
prodk=1^n+1!l(1+1kr) =l(prodk=1^n!l(1+tfrac1kr)r)timesl(1+tfrac1n+1r)
Pela hipótese de indução o primeiro fator vale n+1, de modo que
prodk=1^n+1!l(1+1kr) =(n+1)timesn+2,n+1,=n+2
Isso mostra que, assumindo a fórmula para n, ela vale também para n+1.

Passo 4

Como o caso base n=1 é verdadeiro e o passo indutivo foi confirmado, pelo princípio da indução a igualdade
prodk=1^n!l(1+1kr)=n+1
vale para todo inteiro n>=1.

Resposta

A identidade está provada por indução e, portanto, para todo ninN vale
prodk=1^n!l(1+1kr)=n+1

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