Use o príncípio da indução matemática para provar as seguintes identidades:
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando o princípio da indução matemática, que para todo inteiro
vale
O que precisamos é:
- Verificar o caso base
. - Assumir que a fórmula vale para um certo
(hipótese de indução). - Mostrar que daí segue para
.
Passo 2
Caso base
.
A expressão à esquerda fica
A expressão à esquerda fica
e à direita temos
. Logo a igualdade é verdadeira para
.
Passo 3
Passo indutivo.
Suponha que para algum já seja válida a igualdade
Suponha que para algum
Então, para
podemos escrever
Pela hipótese de indução o primeiro fator vale
, de modo que
Isso mostra que, assumindo a fórmula para
, ela vale também para
.
Passo 4
Como o caso base
é verdadeiro e o passo indutivo foi confirmado, pelo princípio da indução a igualdade
vale para todo inteiro
.
Resposta
A identidade está provada por indução e, portanto, para todo
vale