Use o príncípio da indução matemática para provar as seguintes identidades:
sumi=1^n(-1)^i-1 i^2=(-1)^n-1 n(n+1)2 ;

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que vale a identidade
sumi=1^n(-1)^i-1i^2 ;=;(-1)^n-1,n(n+1)2
O conteúdo aqui é o princípio de indução matemática: vamos verificar a base n=1 e depois mostrar que, se o resultado vale para n=k, então vale para n=k+1.

Passo 2

Base de indução ( n=1). Para n=1 temos
sumi=1^1(-1)^i-1i^2 = (-1)^0cdot1^2 = 1
e o lado direito da fórmula é
(-1)^1-1,1,(1+1)2 = (-1)^0cdot1cdot22 = 1
Logo, a identidade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que, para algum inteiro k>=1, seja verdadeira a igualdade
sumi=1^k(-1)^i-1i^2 = (-1)^k-1,k(k+1)2

Passo 4

Passo indutivo. Queremos mostrar que
sumi=1^k+1(-1)^i-1i^2 = (-1)^k,(k+1)(k+2)2
Começamos escrevendo
sumi=1^k+1(-1)^i-1i^2 =gl(sumi=1^k(-1)^i-1i^2gr)+(-1)^k(k+1)^2
Pela hipótese de indução isso é
(-1)^k-1,k(k+1)2 + (-1)^k(k+1)^2
Fatorando (-1)^k,(k+1) desse somatório:
(-1)^k(k+1)l(-tfrack2 + (k+1)r) = (-1)^k(k+1)l(tfrac-k + 2k + 22r) = (-1)^k(k+1),k+22,
que é exatamente
(-1)^k,(k+1)(k+2)2
Assim fechamos o passo indutivo.

Resposta

A identidade vale para todo inteiro n>=1.

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