Use o príncípio da indução matemática para provar as seguintes identidades:
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução em
, que vale a identidade
O conteúdo aqui é o princípio de indução matemática: vamos verificar a base
e depois mostrar que, se o resultado vale para
, então vale para
.
Passo 2
Base de indução (
). Para
temos
e o lado direito da fórmula é
Logo, a identidade vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que, para algum inteiro
, seja verdadeira a igualdade
Passo 4
Passo indutivo. Queremos mostrar que
Começamos escrevendo
Pela hipótese de indução isso é
Fatorando
desse somatório:
que é exatamente
Assim fechamos o passo indutivo.
Resposta
A identidade vale para todo inteiro
.