Use o príncípio da indução matemática para provar as seguintes identidades:
sumi=1^n i(i-1)=(n-1) n(n+1)3

Passo 1

O objetivo é provar, por indução em n, que
sumi=1^n i(i-1) = (n-1),n,(n+1)3
Aqui o conteúdo é soma de termos quadráticos e o método é o princípio da indução matemática, que envolve checar a base e depois o passo indutivo.

Passo 2

Base da indução ( n=1):
O lado esquerdo fica
sumi=1^1 i(i-1) = 1cdot0 = 0,
e o lado direito é
(1-1)cdot1cdot(1+1)3 = 0cdot1cdot23 = 0
Portanto a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum k>=1 já valha
sumi=1^k i(i-1) = (k-1),k,(k+1)3

Passo 4

Passo indutivo ( kto k+1):
Escrevemos a soma até k+1 como a soma até k mais o termo de índice k+1:
sumi=1^k+1 i(i-1) = sumi=1^k i(i-1) ;+;(k+1),k
Pela hipótese de indução, isso vale
(k-1),k,(k+1)3 ;+; k,(k+1)
Colocando k(k+1) em evidência:
k,(k+1),l(k-13 + 1r) = k,(k+1),k-1+33 = k,(k+1),(k+2)3
Observe que k,(k+1),(k+2)3 é exatamente
l((k+1)-1r),(k+1)l((k+1)+1r)3,
isto é, a fórmula com n=k+1. Assim o passo indutivo está completo.

Passo 5

Pelo princípio da indução matemática, a identidade
sumi=1^n i(i-1) = (n-1),n,(n+1)3
vale para todo ninN.

Resposta

A fórmula está demonstrada:
sumi=1^n i(i-1) = (n-1),n,(n+1)3

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