Use o príncípio da indução matemática para provar as seguintes identidades:
Passo 1
O objetivo é provar, por indução em
, que
Aqui o conteúdo é soma de termos quadráticos e o método é o princípio da indução matemática, que envolve checar a base e depois o passo indutivo.
Passo 2
Base da indução (
):
O lado esquerdo fica
O lado esquerdo fica
e o lado direito é
Portanto a fórmula vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
já valha
Passo 4
Passo indutivo (
):
Escrevemos a soma até como a soma até
mais o termo de índice
:
Escrevemos a soma até
Pela hipótese de indução, isso vale
Colocando
em evidência:
Observe que
é exatamente
isto é, a fórmula com
. Assim o passo indutivo está completo.
Passo 5
Pelo princípio da indução matemática, a identidade
vale para todo
.
Resposta
A fórmula está demonstrada: