(Indução - múltiplos de 10) Mostre, por indução em n, que 19+(-9)^{n} é múltiplo inteiro (em Z) de 10, para todo n \in \mathrm{~N}.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que
19 + (-9)^n
é múltiplo de 10 para todo n \in \mathbb{N}. O conteúdo aqui é indução matemática: vamos verificar a base, assumir a hipótese de indução e então demonstrar o passo indutivo.

Passo 2

Base da indução n=0:
19 + (-9)^0 = 19 + 1 = 20 = 10 \cdot 2,
portanto para n=0 a expressão é múltiplo de 10.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que, para um k fixo em \mathbb{N}, exista um inteiro m tal que
19 + (-9)^k = 10m.

Passo 4

Passo indutivo n=k+1:
19 + (-9)^{k+1} = 19 + (-9)\cdot(-9)^k = 19 - 9\,(-9)^k.
Pela hipótese, (-9)^k = 10m - 19. Substituindo,
19 - 9\,(10m - 19) = 19 - 90m + 171 = 190 - 90m = 10\,(19 - 9m),
que é claramente múltiplo de 10.

Passo 5

Como a base é verdadeira e o passo indutivo foi estabelecido, segue por indução que 19 + (-9)^n é múltiplo de 10 para todo n \in \mathbb{N}.

Resposta

Para todo n \in \mathbb{N}, 19 + (-9)^n é múltiplo de 10.

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