Use o princípio de indução para mostrar cada uma das afirmações seguintes:
é um número ímpar, para todo
.
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede para mostrar que ela é um número ímpar para todo
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A variável
varia em (números naturais). - A expressão a ser analisada é
. - A tarefa é provar que, para todo
, é ímpar.
Passo 2
Definição útil (vou explicar bem devagar): um inteiro
é ímpar se e somente se existe um inteiro
tal que
Aqui
. Essa é a forma canônica de um número ímpar: dois vezes algo inteiro, mais um. Também usarei sem alarde que soma e produto de inteiros é inteiro (ou seja, se
então
,
, etc.).
Passo 3
Base da indução (caso
). Verificar que a propriedade vale para
:
E
é da forma
(aqui
), logo
é ímpar. Portanto a propriedade é verdadeira para
.
Passo 4
Hipótese de indução. Suponha que, para algum
, a afirmação seja verdadeira, isto é, suponha que existe
tal que
Vou usar essa hipótese para mostrar que a afirmação vale para
.
Passo 5
Passo indutivo: provar que
é ímpar assumindo a hipótese. Começo escrevendo:
Reescrevo
de um jeito que permita usar
:
porque
.
Agora uso a hipótese de indução
. Substituindo:
Agora escrevo
na forma
:
pois
.
Como
implica
, concluímos que
é da forma
com
. Portanto
é ímpar.
Passo 6
Conclusão por indução. Mostramos que a propriedade é verdadeira para
(base) e que, sempre que é verdadeira para um
arbitrário, é também verdadeira para
(passo indutivo). Pelo princípio da indução matemática, a propriedade vale para todo
: para todo
o número
é ímpar.
Resposta
Para todo
,
é ímpar.