Use o princípio de indução para mostrar cada uma das afirmações seguintes:
3^{n}-2 é um número ímpar, para todo n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado dá a expressão 3^{n}-2 e pede para mostrar que ela é um número ímpar para todo n\in\mathbb{N}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável n varia em \mathbb{N} (números naturais).
  • A expressão a ser analisada é 3^{n}-2.
  • A tarefa é provar que, para todo n\in\mathbb{N}, 3^{n}-2 é ímpar.

Passo 2

Definição útil (vou explicar bem devagar): um inteiro m é ímpar se e somente se existe um inteiro k tal que
m = 2k + 1.
Aqui k\in\mathbb{Z}. Essa é a forma canônica de um número ímpar: dois vezes algo inteiro, mais um. Também usarei sem alarde que soma e produto de inteiros é inteiro (ou seja, se k\in\mathbb{Z} então 3k+3\in\mathbb{Z}, 6k+7\in\mathbb{Z}, etc.).

Passo 3

Base da indução (caso n=1). Verificar que a propriedade vale para n=1:
3^{1}-2 = 3 - 2 = 1.
E 1 é da forma 2\cdot 0 + 1 (aqui k=0), logo 1 é ímpar. Portanto a propriedade é verdadeira para n=1.

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que, para algum n\in\mathbb{N}, a afirmação seja verdadeira, isto é, suponha que existe k\in\mathbb{Z} tal que
3^{n} - 2 = 2k + 1.
Vou usar essa hipótese para mostrar que a afirmação vale para n+1.

Passo 5

Passo indutivo: provar que 3^{n+1}-2 é ímpar assumindo a hipótese. Começo escrevendo:
3^{n+1}-2 = 3\cdot 3^{n} - 2.
Reescrevo 3^{n+1}-2 de um jeito que permita usar 3^{n}-2:
3^{n+1}-2 = 3\bigl(3^{n}-2\bigr) + 4,
porque 3(3^{n}-2) + 4 = 3\cdot 3^{n} -6 +4 = 3\cdot 3^{n} -2.
Agora uso a hipótese de indução 3^{n}-2 = 2k+1. Substituindo:
3^{n+1}-2 = 3(2k+1) + 4 = 6k + 3 + 4 = 6k + 7.
Agora escrevo 6k+7 na forma 2(\text{algo}) + 1:
6k + 7 = 2(3k+3) + 1,
pois 2(3k+3) +1 = 6k + 6 + 1 = 6k+7.
Como k\in\mathbb{Z} implica 3k+3\in\mathbb{Z}, concluímos que 3^{n+1}-2 é da forma 2m+1 com m=3k+3\in\mathbb{Z}. Portanto 3^{n+1}-2 é ímpar.

Passo 6

Conclusão por indução. Mostramos que a propriedade é verdadeira para n=1 (base) e que, sempre que é verdadeira para um n arbitrário, é também verdadeira para n+1 (passo indutivo). Pelo princípio da indução matemática, a propriedade vale para todo n\in\mathbb{N}: para todo n\in\mathbb{N} o número 3^{n}-2 é ímpar.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N}, 3^{n}-2 é ímpar.

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