Use o Problema 38 para determinar a decomposição em frações parciais de f(z)=5 z^2-z+2z(z+1)(z-i).

Passo 1

O enunciado pede para decompor a função racional f(z)=5z^2-z+2z(z+1)(z-i) em frações parciais. É um problema de frações parciais no domínio complexo, onde vamos usar a técnica de “cover-up” (ou método dos resíduos) para encontrar os coeficientes de cada termo.

Passo 2

Escrevemos a forma geral da decomposição: temos que existir constantes A, B, C tais que
5z^2-z+2z(z+1)(z-i) = Az + Bz+1 + Cz-i
Multiplicando ambos os lados por z(z+1)(z-i) obtemos a identidade polinomial
5z^2-z+2 = A(z+1)(z-i) + B,z(z-i) + C,z(z+1)

Passo 3

Para achar A, usamos o “cover-up” em z=0. No lado esquerdo fica 5cdot0^2 -0 +2 = 2, e no direito A(0+1)(0-i)=Acdot1cdot(-i)=-iA. Logo:
2 = -iA implies A = 2-i = 2i

Passo 4

Para achar B, fazemos o cover-up em z=-1. No lado esquerdo vale 5(-1)^2 -(-1)+2 = 5+1+2=8. No direito só sobrevive o termo de B:
B,(-1)(-1 - i)=B(1+i)implies B=81+i=4 - 4i

Passo 5

Para encontrar C, aplicamos cover-up em z=i. No lado esquerdo dá 5i^2-i+2 = -5 - i + 2 = -3 - i. No direito só aparece
C,i(i+1)=C(i^2+i)=C(-1+i)=C(i-1)
Então
C(i-1) = -3 - i implies C = -3 - ii-1 = 1 + 2i

Resposta

f(z)=2iz + 4-4iz+1 + 1+2iz-i

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