Se h(z) tiver um zero de ordem 1 , (5) da Seção 6.4 indica que phi, onde z=z é analítica em f(z)=g(z) / h(z) e Res(f(z), z0)=g(z0)phi(z0)=g(z0)h^prime(z0) . Com , use (1) para obter:

Passo 1

O enunciado considera uma função f(z)=g(z)h(z) onde h(z) tem um zero de ordem 1 em z=z0. Queremos calcular o resíduo de f nesse ponto, usando a teoria de polos simples e a representação de h.

Passo 2

Pela condição de zero simples, existe uma função phi(z) analítica em z0 com phi(z0)neq0 tal que
h(z)=(z-z0),phi(z)

Passo 3

Substituindo em f, temos
f(z)=g(z)(z-z0),phi(z)=g(z)/phi(z)z-z0
Como g(z)/phi(z) é analítica em z0, esse é exatamente o formato de um polo simples, e o resíduo é o valor da parte analítica em z0. Logo,
Res(f,z0)=g(z0)phi(z0)

Passo 4

Para relacionar phi(z0) a h'(z0), derivamos h(z)=(z-z0),phi(z):
h'(z)=phi(z)+(z-z0),phi'(z)
Avaliando em z=z0 fica h'(z0)=phi(z0). Portanto podemos reescrever o resíduo como
Res(f,z0)=g(z0)h'(z0)

Resposta

Res(f,z0)=g(z0)h'(z0)

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