Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para ortogonalizar os seguintes conjuntos.
. Considere o produto interno canônico.
Passo 1
O enunciado pede para ortogonalizar o conjunto
em
usando o processo de Gram–Schmidt, com o produto interno canônico
. Vamos construir um novo par de vetores
ortogonais e que gerem o mesmo subespaço de
.
Passo 2
Escolhemos o primeiro vetor de saída como
Ele já faz parte de
e não precisa ser modificado.
Passo 3
Para obter
, projetamos
sobre
. Primeiro calculamos o produto interno e a norma ao quadrado de
:
A projeção de
em
é
Passo 4
Subtraímos essa projeção de
para obter o vetor ortogonal
:
Verifique que
, garantindo a ortogonalidade.
Resposta
Uma base ortogonal obtida por Gram–Schmidt é
Obs.: multiplicando
por
obtemos
, que também formaria, junto com
, uma base ortogonal equivalente.