Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para ortogonalizar os seguintes conjuntos.
B=(1,2),(3,-1). Considere o produto interno canônico.

Passo 1

O enunciado pede para ortogonalizar o conjunto B=(1,2),(3,-1) em R^2 usando o processo de Gram–Schmidt, com o produto interno canônico lang<=(x1,y1),(x2,y2)rang<= = x1x2 + y1y2. Vamos construir um novo par de vetores u1,u2 ortogonais e que gerem o mesmo subespaço de B.

Passo 2

Escolhemos o primeiro vetor de saída como
u1 = v1 = (1,2)
Ele já faz parte de B e não precisa ser modificado.

Passo 3

Para obter u2, projetamos v2=(3,-1) sobre u1. Primeiro calculamos o produto interno e a norma ao quadrado de u1:
lang<= v2,u1rang<= = 3cdot1 + (-1)cdot2 = 1, lang<= u1,u1rang<= = 1^2 + 2^2 = 5
A projeção de v2 em u1 é
proju1(v2) = lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 = 15(1,2)

Passo 4

Subtraímos essa projeção de v2 para obter o vetor ortogonal u2:
u2 = v2 - proju1(v2) = (3,-1) - 15(1,2) = l(tfrac145, -tfrac75r)
Verifique que lang<= u2,u1rang<= = 0, garantindo a ortogonalidade.

Resposta

Uma base ortogonal obtida por Gram–Schmidt é
l(1,2),,(tfrac145,-tfrac75)r
Obs.: multiplicando (tfrac145,-tfrac75) por tfrac57 obtemos (2,-1), que também formaria, junto com (1,2), uma base ortogonal equivalente.

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