Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para ortogonalizar os seguintes conjuntos.
B=(1,1,1),(2,0,-1),(0,2,5). Considere o produto interno canônico.

Passo 1

A gente quer aplicar o processo de Gram–Schmidt ao conjunto
B=v1,v2,v3 com
v1=(1,1,1), v2=(2,0,-1), v3=(0,2,5),
usando o produto interno canônico lang<= x,yrang<==sumi xi yi. O objetivo é encontrar vetores u1,u2,u3 ortogonais que geram o mesmo espaço de B.

Passo 2

Definimos
u1 = v1
e
u2 = v2 - proju1(v2), onde;; proju1(v2)=lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1
Calculemos os produtos:
lang<= v2,u1rang<= = 2cdot1 + 0cdot1 +(-1)cdot1 = 1, lang<= u1,u1rang<= = 1^2+1^2+1^2 = 3
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u2 = (2,0,-1) - 13(1,1,1) = l(2-tfrac13,;0-tfrac13,;-1-tfrac13r) = l(tfrac53,,-tfrac13,,-tfrac43r)
Para ficar com inteiros, podemos escalar u2 por 3 sem perder ortogonalidade e usar
u2'=(5,-1,-4)

Passo 3

Agora
u3 = v3 - proju1(v3) - proju2'(v3),
com
proju1(v3) = lang<= v3,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1, proju2'(v3) = lang<= v3,u2'rang<=lang<= u2',u2'rang<=,u2'
Calculamos
lang<= v3,u1rang<= = 0+2+5=7, lang<= u1,u1rang<==3 ;;Longrightarrow;; proju1(v3)=73(1,1,1)
E
lang<= v3,u2'rang<= = 0cdot5 +2cdot(-1) +5cdot(-4) = -2 -20 = -22,
lang<= u2',u2'rang<= =5^2+(-1)^2+(-4)^2=25+1+16=42,
proju2'(v3) = -2242(5,-1,-4) = -1121(5,-1,-4) = l(-tfrac5521,;tfrac1121,;tfrac4421r)
Subtraindo de v3=(0,2,5) e simplificando, obtemos
u3 = l(tfrac27,,-tfrac67,,tfrac47r)
Multiplicando por 7 dá inteiros sem perder ortogonalidade:
u3'=(2,-6,4)

Resposta

Uma base ortogonal para B é, por exemplo,
,u1=(1,1,1),;u2'=(5,-1,-4),;u3'=(2,-6,4)

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