Seja
com as seguintes operaçōes de adição de vetores e multiplicação por escalar:
Verifique cada uma das 8 condiçōes da definição de espaço vetorial e conclua se
é ou não é espaço vetorial.
Passo 1
Então, a gente tem o conjunto
, que basicamente são todos os pares ordenados de números reais. As operações definidas aqui são a adição de vetores e a multiplicação por escalar:
O exercício pede para a gente verificar se
, com essas operações, satisfaz todas as 8 condições necessárias para ser um espaço vetorial. Precisamos conhecer as propriedades que definem um espaço vetorial e verificar uma a uma se elas se aplicam aqui.
Passo 2
1. Fechamento sob a adição
O que é: Se você adicionar dois vetores do conjunto, o resultado também deve estar no conjunto.
Verificação: Seja
e
em
. A soma deles é
. Como
são reais,
e
também são reais. Portanto, a soma está em
.
Conclusão: A propriedade é satisfeita.
Passo 3
2. Fechamento sob a multiplicação por escalar
O que é: Se você multiplicar um vetor do conjunto por um escalar (um número real), o resultado também deve estar no conjunto.
Verificação: Seja
um escalar em
e
em
. A multiplicação definida é
. Aqui,
continua sendo um número real, e
também é real porque
e
são reais. Assim, o vetor resultante
pertence a
.
Conclusão: A propriedade é satisfeita.
Passo 4
3. Comutatividade da adição
O que é: A ordem dos vetores na adição não altera o resultado.
Verificação:
e
. Como a adição de números reais é comutativa (
e
), os resultados são iguais.
Conclusão: A propriedade é satisfeita.
Passo 5
4. Associatividade da adição
O que é: A maneira como agrupamos os vetores na adição não altera o resultado.
Verificação: Vamos considerar três vetores
,
, e
em
. Primeiro, adicionamos o primeiro e o segundo:
Agora, adicionamos o segundo e o terceiro primeiro:
Os dois resultados são iguais.
Conclusão: A propriedade é satisfeita.
Passo 6
5. Existência do elemento neutro da adição
O que é: Deve existir um vetor no conjunto que, quando adicionado a qualquer outro vetor, não o altera.
Verificação: Vamos procurar um vetor
em
. Para qualquer vetor
:
Então,
atua como o elemento neutro.
Conclusão: A propriedade é satisfeita.
Passo 7
6. Existência do inverso aditivo
O que é: Para cada vetor no conjunto, deve existir outro vetor no conjunto que, quando somados, resultam no elemento neutro.
Verificação: Para um vetor
, o inverso aditivo seria
. Vamos verificar:
Como
e
são reais,
está em
.
Conclusão: A propriedade é satisfeita.
Passo 8
7. Distribuição da multiplicação escalar em relação à adição de vetores
O que é: O escalar multiplicado pela soma de dois vetores deve ser igual à soma dos escalares multiplicados por cada vetor individualmente.
Verificação: Seja
um escalar e
,
vetores em
.
Por outro lado:
Comparando as duas expressões, temos:
A igualdade só ocorre se
, o que é verdadeiro devido à distributividade da multiplicação sobre a adição nos reais. Portanto, a propriedade é satisfeita.
Conclusão: A propriedade é satisfeita.
Passo 9
8. Distribuição da multiplicação escalar em relação à adição de escalares
O que é: A multiplicação de uma soma de escalares por um vetor deve ser igual à soma das multiplicações de cada escalar pelo vetor.
Verificação: Seja
e
escalares, e
um vetor em
.
Por outro lado:
Comparando as duas expressões:
A menos que
, essas duas expressões não são iguais. Portanto, a propriedade não é satisfeita.
Conclusão: A propriedade não é satisfeita.
Resposta
Como uma das oito propriedades necessárias para ser um espaço vetorial não foi satisfeita, especificamente a distribuição da multiplicação escalar em relação à adição de escalares,
não é um espaço vetorial com as operações definidas.