Seja V^2=(x, y) mid x in R, y in R com as seguintes operaçōes de adição de vetores e multiplicação por escalar:
(x1, y1)+(x2, y2) & =(x1+x2, y1+y2) & e a(x, y) & =(x, a y)
Verifique cada uma das 8 condiçōes da definição de espaço vetorial e conclua se V^2 é ou não é espaço vetorial.

Passo 1

Então, a gente tem o conjunto V^2 = (x, y) mid x in R, y in R, que basicamente são todos os pares ordenados de números reais. As operações definidas aqui são a adição de vetores e a multiplicação por escalar:
(x1, y1) + (x2, y2) &= (x1+x2, y1+y2) a(x, y) &= (x, a y)
O exercício pede para a gente verificar se V^2, com essas operações, satisfaz todas as 8 condições necessárias para ser um espaço vetorial. Precisamos conhecer as propriedades que definem um espaço vetorial e verificar uma a uma se elas se aplicam aqui.

Passo 2

1. Fechamento sob a adição
O que é: Se você adicionar dois vetores do conjunto, o resultado também deve estar no conjunto.
Verificação: Seja (x1, y1) e (x2, y2) em V^2. A soma deles é (x1 + x2, y1 + y2). Como x1, x2, y1, y2 são reais, x1 + x2 e y1 + y2 também são reais. Portanto, a soma está em V^2.
Conclusão: A propriedade é satisfeita.

Passo 3

2. Fechamento sob a multiplicação por escalar
O que é: Se você multiplicar um vetor do conjunto por um escalar (um número real), o resultado também deve estar no conjunto.
Verificação: Seja a um escalar em R e (x, y) em V^2. A multiplicação definida é a(x, y) = (x, a y). Aqui, x continua sendo um número real, e a y também é real porque a e y são reais. Assim, o vetor resultante (x, a y) pertence a V^2.
Conclusão: A propriedade é satisfeita.

Passo 4

3. Comutatividade da adição
O que é: A ordem dos vetores na adição não altera o resultado.
Verificação: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e (x2, y2) + (x1, y1) = (x2 + x1, y2 + y1). Como a adição de números reais é comutativa ( x1 + x2 = x2 + x1 e y1 + y2 = y2 + y1), os resultados são iguais.
Conclusão: A propriedade é satisfeita.

Passo 5

4. Associatividade da adição
O que é: A maneira como agrupamos os vetores na adição não altera o resultado.
Verificação: Vamos considerar três vetores (x1, y1), (x2, y2), e (x3, y3) em V^2. Primeiro, adicionamos o primeiro e o segundo:
[(x1, y1) + (x2, y2)] + (x3, y3) = (x1 + x2, y1 + y2) + (x3, y3) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3)
Agora, adicionamos o segundo e o terceiro primeiro:
(x1, y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)] = (x1, y1) + (x2 + x3, y2 + y3) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3)
Os dois resultados são iguais.
Conclusão: A propriedade é satisfeita.

Passo 6

5. Existência do elemento neutro da adição
O que é: Deve existir um vetor no conjunto que, quando adicionado a qualquer outro vetor, não o altera.
Verificação: Vamos procurar um vetor (0, 0) em V^2. Para qualquer vetor (x, y):
(x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y)
Então, (0, 0) atua como o elemento neutro.
Conclusão: A propriedade é satisfeita.

Passo 7

6. Existência do inverso aditivo
O que é: Para cada vetor no conjunto, deve existir outro vetor no conjunto que, quando somados, resultam no elemento neutro.
Verificação: Para um vetor (x, y), o inverso aditivo seria (-x, -y). Vamos verificar:
(x, y) + (-x, -y) = (x + (-x), y + (-y)) = (0, 0)
Como -x e -y são reais, (-x, -y) está em V^2.
Conclusão: A propriedade é satisfeita.

Passo 8

7. Distribuição da multiplicação escalar em relação à adição de vetores
O que é: O escalar multiplicado pela soma de dois vetores deve ser igual à soma dos escalares multiplicados por cada vetor individualmente.
Verificação: Seja a um escalar e (x1, y1), (x2, y2) vetores em V^2.
a[(x1, y1) + (x2, y2)] = a(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2, a(y1 + y2))
Por outro lado:
a(x1, y1) + a(x2, y2) = (x1, a y1) + (x2, a y2) = (x1 + x2, a y1 + a y2)
Comparando as duas expressões, temos:
(x1 + x2, a(y1 + y2)) neq (x1 + x2, a y1 + a y2)
A igualdade só ocorre se a(y1 + y2) = a y1 + a y2, o que é verdadeiro devido à distributividade da multiplicação sobre a adição nos reais. Portanto, a propriedade é satisfeita.
Conclusão: A propriedade é satisfeita.

Passo 9

8. Distribuição da multiplicação escalar em relação à adição de escalares
O que é: A multiplicação de uma soma de escalares por um vetor deve ser igual à soma das multiplicações de cada escalar pelo vetor.
Verificação: Seja a e b escalares, e (x, y) um vetor em V^2.
(a + b)(x, y) = (x, (a + b) y) = (x, a y + b y)
Por outro lado:
a(x, y) + b(x, y) = (x, a y) + (x, b y) = (x + x, a y + b y) = (2x, a y + b y)
Comparando as duas expressões:
(x, a y + b y) neq (2x, a y + b y)
A menos que x = 0, essas duas expressões não são iguais. Portanto, a propriedade não é satisfeita.
Conclusão: A propriedade não é satisfeita.

Resposta

Como uma das oito propriedades necessárias para ser um espaço vetorial não foi satisfeita, especificamente a distribuição da multiplicação escalar em relação à adição de escalares, V^2 não é um espaço vetorial com as operações definidas.

Exercícios relacionados