Seja beta=(1,1,1),(1,0,1),(0,1,-1). Ache uma base ortonormal beta^prime de R^3, em relação ao produto interno usual.

Passo 1

O enunciado dá a família beta=v1,v2,v3subsetR^3, onde
v1=(1,1,1), v2=(1,0,1), v3=(0,1,-1),
e pede uma base ortonormal beta' no produto interno usual. Para isso, vamos aplicar o processo de Gram–Schmidt em v1,v2,v3 e depois normalizar cada vetor.

Passo 2

Definimos
u1 = v1=(1,1,1).
Sua norma é
|u1|=raiz1^2+1^2+1^2=raiz3,
então o primeiro vetor ortonormal é
e1 = u1|u1| = 1raiz3,(1,1,1)

Passo 3

Para o segundo vetor, subtraímos de v2 sua projeção em e1:
v2cdot e1 = 1+0+1raiz3=2raiz3, proje1(v2)=l(v2cdot e1r)e1 =2raiz3;e1 =23(1,1,1)
Logo
u2 = v2 - proje1(v2) = l(1,0,1r) - l(tfrac23,tfrac23,tfrac23r) = l(tfrac13,-tfrac23,tfrac13r)
Calculamos a norma de u2:
|u2| = raizl(tfrac13r)^2+l(-tfrac23r)^2+l(tfrac13r)^2 = raiztfrac69 = raiz63
Assim o segundo vetor ortonormal é
e2 = u2|u2| = l(tfrac13,-tfrac23,tfrac13r)tfracraiz63 = l(tfrac1raiz6,-tfrac2raiz6,tfrac1raiz6r)

Passo 4

Para o terceiro vetor, subtraímos projeções em e1 e e2. Primeiro
v3cdot e1 = 0+1-1raiz3=0,
de modo que não há componente em e1. Depois
v3cdot e2 = 0cdottfrac1raiz6 + 1cdotl(-tfrac2raiz6r) +(-1)cdottfrac1raiz6 = -3raiz6 = -raiz62,
então
proje2(v3) = l(v3cdot e2r)e2 = -raiz62;e2 = l(-tfrac12,1,-tfrac12r)
Logo
u3 = v3 - proje2(v3) = l(0,1,-1r) - l(-tfrac12,1,-tfrac12r) = l(tfrac12,0,-tfrac12r)
A norma de u3 é
|u3| = raizl(tfrac12r)^2 + 0^2 + l(-tfrac12r)^2 = raiztfrac12 = 1raiz2,
e assim
e3 = u3|u3| = l(tfrac12,0,-tfrac12r)tfrac1raiz2 = l(tfracraiz22,,0,,-tfracraiz22r)

Resposta

Uma base ortonormal beta' é
beta' = l,e1,,e2,,e3r,
onde
e1 = 1raiz3,(1,1,1), e2 = 1raiz6,(1,-2,1), e3 = raiz22,(1,0,-1)

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