Use produtos notáveis para calcular as seguintes expressões:
$(x+1){2}-(x-1){2} ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
(x+1)^{2}-(x-1)^{2}.
Informações dadas: a expressão é a diferença de dois quadrados, cada um envolvendo x somado ou subtraído de 1. A tarefa é calcular o valor simplificado dessa expressão usando produtos notáveis.

Passo 2

Apresento um produto notável muito útil: a diferença de quadrados. Para quaisquer números (ou expressões) a e b vale:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Explicando por que isso é verdade: ao multiplicar as duas parcelas do lado direito obtemos
(a-b)(a+b)=a^{2}+ab-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2},
ou seja, os termos +ab e -ab se cancelam. Aqui a e b são placeholders; podemos substituir por qualquer expressão.

Passo 3

Aplicando essa identidade ao nosso problema, tomo
a = x+1 \quad\text{e}\quad b = x-1.
Então
(x+1)^{2}-(x-1)^{2}=( (x+1)-(x-1) )\big( (x+1)+(x-1) \big).

Passo 4

Calculo separadamente cada fator:
(x+1)-(x-1)=x+1-x+1=2,
(x+1)+(x-1)=x+1+x-1=2x.
Multiplicando os fatores:
2\cdot 2x = 4x.

Passo 5

Como verificação (método alternativo): posso também expandir os quadrados usando o produto notável do quadrado da soma/da diferença,
(u\pm v)^{2}=u^{2}\pm 2uv+v^{2}.
Tomando u=x e v=1,
(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1,\qquad (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1.
Subtraindo:
(x^{2}+2x+1)-(x^{2}-2x+1)=x^{2}+2x+1-x^{2}+2x-1=4x,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

4x

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