Use produtos notáveis para calcular as seguintes expressões:
$(2 x-y)^{3} ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão (2x-y)^{3}.
Informações dadas: a expressão a ser expandida é (2x-y)^{3}. Não há outros dados.

Passo 2

Vamos lembrar um produto notável muito útil: a fórmula do cubo de uma diferença. Para quaisquer expressões \,a e \,b, vale
(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}.
Expliquei essa fórmula porque ela nos dá direto os coeficientes e os sinais de cada termo quando elevamos uma diferença ao cubo. Os coeficientes 1,3,3,1 vêm do triângulo de Pascal ou da multiplicação repetida, e os sinais alternam quando temos uma subtração.

Passo 3

Identificamos em nossa expressão quais são a e b. Aqui
a=2x\quad\text{e}\quad b=y.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula termo a termo. Primeiro calculemos a^{3}:
a^{3}=(2x)^{3}=2^{3}x^{3}=8x^{3}.
Explanação rápida: elevar um produto (2x) ao cubo significa elevar cada fator ao cubo.

Passo 5

Segundo termo: -3a^{2}b. Calculamos a^{2} e multiplicamos por -3b:
a^{2}=(2x)^{2}=4x^{2}\quad\Rightarrow\quad -3a^{2}b=-3\cdot 4x^{2}\cdot y=-12x^{2}y.
Aqui multiplicamos os números (coeficientes) e mantemos as potências das variáveis.

Passo 6

Terceiro termo: +3ab^{2}. Temos
b^{2}=y^{2}\quad\Rightarrow\quad 3ab^{2}=3\cdot (2x)\cdot y^{2}=6xy^{2}.

Passo 7

Quarto termo: -b^{3}. Simplesmente
-b^{3}=-y^{3}.

Passo 8

Juntando todos os termos obtidos pela fórmula, a expansão fica
(2x-y)^{3}=8x^{3}-12x^{2}y+6xy^{2}-y^{3}.

Resposta

8x^{3}-12x^{2}y+6xy^{2}-y^{3}

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