Use produtos notáveis para calcular as seguintes expressões:
$(x+y)^{3} ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão (x+y)^{3}.
Informações dadas: a expressão é um binómio elevado ao expoente 3. Queremos expandir essa potência escrevendo-a como soma de monômios em x e y.

Passo 2

Vamos começar lembrando um produto notável simples e muito útil: o quadrado da soma. A fórmula é
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2},
onde a e b são quaisquer expressões (aqui serão x e y). Essa fórmula vem da propriedade distributiva: (a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a^{2}+ab+ba+b^{2} e como ab=ba juntamos os termos ab e ba em 2ab.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, com a=x e b=y, obtemos primeiro o quadrado:
(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.
Expliquei passo a passo: multipliquei (x+y) por (x+y) e somei os termos semelhantes.

Passo 4

Agora usamos que (x+y)^{3}=(x+y)^{2}\cdot(x+y). Substituímos o resultado do passo anterior e multiplicamos:
(x+y)^{3}=(x^{2}+2xy+y^{2})(x+y).
Vamos aplicar a distributiva: multiplicamos cada termo do primeiro parêntese por x e depois por y.

Passo 5

Multiplicando termo a termo:
\begin{aligned} (x^{2}+2xy+y^{2})\cdot x &= x^{2}\cdot x + 2xy\cdot x + y^{2}\cdot x = x^{3}+2x^{2}y+xy^{2},\\[6pt] (x^{2}+2xy+y^{2})\cdot y &= x^{2}\cdot y + 2xy\cdot y + y^{2}\cdot y = x^{2}y+2xy^{2}+y^{3}. \end{aligned}
Agora somamos as duas linhas (porque multiplicamos pelo x e pelo y e somamos os resultados):]

Passo 6

Somando termo a termo e agrupando termos semelhantes:
\begin{aligned} x^{3}+2x^{2}y+xy^{2} &+ x^{2}y+2xy^{2}+y^{3} \\\ &= x^{3} + (2x^{2}y+x^{2}y) + (xy^{2}+2xy^{2}) + y^{3} \\\ &= x^{3} + 3x^{2}y + 3xy^{2} + y^{3}. \end{aligned}
Note como os coeficientes 1,3,3,1 aparecem pela combinação dos termos iguais gerados pela distributiva.

Passo 7

Verificação rápida com números (para ganhar confiança): se x=1 e y=2, então (x+y)^{3}=(1+2)^{3}=3^{3}=27. Pela fórmula expandida:
x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}=1^{3}+3\cdot1^{2}\cdot2+3\cdot1\cdot2^{2}+2^{3}=1+6+12+8=27,
confere certinho.

Resposta

x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}

Exercícios relacionados