Encontre a solução da seguinte EDO não homogênea
(D^4-4) y(t)=12 sin (2 t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) não homogênea dada por:
(D^4 - 4) , y(t) = 12 sin(2t)
Isso quer dizer que a derivada quarta de y(t) menos 4 vezes y(t) é igual a 12 sin(2t) . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO. Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares de ordem superior com coeficientes constantes e aprender a encontrar soluções para a parte homogênea e para a parte não homogênea da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é igual a zero:
D^4 y(t) - 4 y(t) = 0
Aqui, D^4 representa a derivada quarta de y(t) . Para resolver isso, assumimos uma solução do tipo y(t) = e^rt , onde r é um número que vamos descobrir. Substituindo na equação, temos:
r^4 e^rt - 4 e^rt = 0 e^rt (r^4 - 4) = 0
Como e^rt nunca é zero, devemos ter:
r^4 - 4 = 0 r^4 = 4 r = pm raiz2, , pm iraiz2
Então, os valores de r são raiz2 , -raiz2 , iraiz2 e -iraiz2 .

Passo 3

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da parte homogênea:
yh(t) = C1 e^raiz2 t + C2 e^ -raiz2 t + C3 cos(raiz2 t) + C4 sin(raiz2 t)
Aqui, C1, C2, C3 e C4 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houverem.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp(t) ) para a parte não homogênea da equação:
D^4 y(t) - 4 y(t) = 12 sin(2t)
Como o lado direito é 12 sin(2t) , vamos tentar uma solução particular da forma:
yp(t) = A cos(2t) + B sin(2t)
Onde A e B são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de yp(t) :
Primeira derivada:
yp'(t) = -2A sin(2t) + 2B cos(2t)
Segunda derivada:
yp''(t) = -4A cos(2t) - 4B sin(2t)
Terceira derivada:
yp'''(t) = 8A sin(2t) - 8B cos(2t)
Quarta derivada:
yp''''(t) = 16A cos(2t) + 16B sin(2t)

Passo 6

Substituímos yp(t) e sua quarta derivada na equação original:
(D^4 - 4)yp(t) = 12 sin(2t) yp''''(t) - 4 yp(t) = 12 sin(2t) (16A cos(2t) + 16B sin(2t)) - 4(A cos(2t) + B sin(2t)) = 12 sin(2t) (16A - 4A) cos(2t) + (16B - 4B) sin(2t) = 12 sin(2t) 12A cos(2t) + 12B sin(2t) = 12 sin(2t)

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes das funções cosseno e seno dos dois lados da equação:
Para cos(2t) :
12A = 0 A = 0
Para sin(2t) :
12B = 12 B = 1
Então, a solução particular é:
yp(t) = 0 cdot cos(2t) + 1 cdot sin(2t) = sin(2t)

Passo 8

Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) y(t) = C1 e^raiz2 t + C2 e^ -raiz2 t + C3 cos(raiz2 t) + C4 sin(raiz2 t) + sin(2t)

Resposta

A solução geral da equação diferencial (D^4 - 4)y(t) = 12 sin(2t) é:
y(t) = C1 e^raiz2 t + C2 e^ -raiz2 t + C3 cos(raiz2 t) + C4 sin(raiz2 t) + sin(2t)
Onde C1, C2, C3 e C4 são constantes arbitrárias que podem ser determinadas com base em condições iniciais específicas.

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