Encontre a solução da seguinte EDO não homogênea
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) não homogênea dada por:
Isso quer dizer que a derivada quarta de
menos 4 vezes
é igual a
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO. Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares de ordem superior com coeficientes constantes e aprender a encontrar soluções para a parte homogênea e para a parte não homogênea da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é igual a zero:
Aqui,
representa a derivada quarta de
. Para resolver isso, assumimos uma solução do tipo
, onde
é um número que vamos descobrir. Substituindo na equação, temos:
Como
nunca é zero, devemos ter:
Então, os valores de
são
,
,
e
.
Passo 3
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da parte homogênea:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houverem.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a parte não homogênea da equação:
Como o lado direito é
, vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Passo 6
Substituímos
e sua quarta derivada na equação original:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes das funções cosseno e seno dos dois lados da equação:
Para
:
Para
:
Então, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias que podem ser determinadas com base em condições iniciais específicas.