Use as proposições vistas em aula para encontrar a transformada de Laplace das seguintes funções
y(t)=t e^t sinh 2 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de y(t)=t,e^tsinh(2t). Pra resolver isso sem fazer integral na mão, vamos usar três propriedades clássicas da transformada de Laplace:
1. Lsinh(a t)=as^2-a^2
2. (deslocamento) Le^a tf(t)=F(s-a), onde F(s)=Lf(t)
3. (multiplicação por t) Lt,f(t)=-ddsF(s)

Passo 2

Primeiro, calculamos
F1(s)=Le^tsinh(2t)
Como Lsinh(2t)=2s^2-4, aplicando deslocamento com a=1
F1(s)=2(s-1)^2-4

Passo 3

Agora usamos a propriedade do multiplicador t. Chamando F(s)=F1(s), temos
Lt,e^tsinh(2t) =-ddsF(s) =-dds!l(2(s-1)^2-4r)

Passo 4

Defina g(s)=(s-1)^2-4. Então
-ddsl(2g(s)r) =2,g'(s)g(s)^2 e g'(s)=2(s-1)
Substituindo, fica
Ly(t) =2cdot2(s-1)l((s-1)^2-4r)^2 =4(s-1)l(s^2-2s-3r)^2

Resposta

Lt,e^tsinh(2t) =4(s-1)(s^2-2s-3)^2

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